[논문 리뷰] Asymptotic analysis for Vlasov-Fokker-Planck/compressible Navier-Stokes equations with a density-dependent viscosity

Young-Pil Choi, Jinwook Jung|arXiv (Cornell University)|2019. 01. 04.

Navier-Stokes equation solutions참고 문헌 21인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 상대 엔트로피 방법을 사용하여 밀도에 의존하는 점성도를 갖는 결합된 비압축성 라플라스-포커-플랑크/압축성 라우르-스톡스 시스템에 대한 유체역학적 극한을 수립한다. 강한 마찰과 브라운 운동 스케일링 하에서, 등온 아이소터프 오일러 방정식과 밀도에 의존하는 점성도를 갖는 압축성 라우르-스톡스 방정식으로 구성된 두상유체 모델을 엄밀히 유도하며, 운동량-에너지 보존 법칙을 만족하는 약한 해가 운동량-에너지 보존 법칙을 만족하는 강한 해로 수렴함을 증명한다.

ABSTRACT

We study a hydrodynamic limit of a system of coupled kinetic and fluid equations under a strong local alignment force and a strong Brownian motion. More precisely, we consider the Vlasov-Fokker-Planck type equation and compressible Navier-Stokes equations with a density-dependent viscosity. Based on a relative entropy argument, by assuming the existence of weak solutions to that kinetic-fluid system, we rigorously derive a two-phase fluid model consisting of isothermal Euler equations and compressible Navier-Stokes equations with a density-dependent viscosity.

연구 동기 및 목표

• 강한 마찰과 브라운 운동 조건 하에서 운동-유체 시스템의 점차적 행동을 분석하기 위해.
• 결합된 라플라스-포커-플랑크 방정식과 압축성 라우르-스톡스 방정식의 유체역학적 극한으로 두상유체 모델을 도출하기 위해.
• 운동-유체 시스템의 약한 해가 제한 유체 시스템의 강한 해로 수렴함을 확립하기 위해.
• 유체역학적 극한 프레임워크 내에서 압축성 라우르-스톡스 방정식에 밀도에 의존하는 점성도를 통합하기 위해.

제안 방법

• 약한-강한 유일성 원리를 기반으로 하여 상대 엔트로피 방법을 사용하여 유체역학적 극한을 분석한다.
• 라플라스-포커-플랑크 방정식의 마찰 및 확산 항을 작은 매개변수 ε로 스케일링하는 특수한 섭동 영역을 고려한다.
• 엔트로피 부등식과 에너지 추정을 활용하여 운동-유체 해와 제한 유체 상태 사이의 상대 엔트로피를 제어한다.
• 밀도, 운동량, 에너지에 대한 $L^p$ 공간에서의 수렴을 분석하며, 국소 적분 가능성과 균일한 유계성을 활용한다.
• 영역을 정규 및 특이 영역으로 분할하여 $n^\varepsilon$, $n^\varepsilon v^\varepsilon$, $n^\varepsilon |v^\varepsilon|^2$가 유체 대응항으로 수렴함을 확립한다.
• 압력 법칙 $p(n) = n^\gamma$를 사용하고 $\gamma > 0$을 가정하여 에너지 추정에서 비선형 항을 제어한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 강한 마찰과 브라운 운동 조건 하에서 밀도에 의존하는 점성도를 갖는 라플라스-포커-플랑크/압축성 라우르-스톡스 시스템의 유체역학적 극한은 무엇인가?
• RQ2 상대 엔트로피 방법은 밀도에 의존하는 점성도와 결합된 운동-유체 역학 시스템으로 확장될 수 있는가?
• RQ3 운동-유체 시스템의 약한 해는 제한 두상유체 시스템의 강한 해로 수렴하는가?
• RQ4 밀도에 의존하는 점성도의 존재는 수렴 속도와 제한 방정식의 구조에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 운동-유체 시스템의 약한 해 $(f^\varepsilon, n^\varepsilon, v^\varepsilon)$는 $\varepsilon \to 0$일 때 두상유체 시스템의 강한 해 $(\rho, u, n, v)$로 수렴한다.
• $L^1_{\text{loc}}(0,T; L^p_{\text{loc}}(\mathbb{R}^d))$에서 $p \in [1, \gamma]$를 만족하며, $n^\varepsilon \to n$는 $L^\gamma_{\text{loc}}$에서 수렴한다.
• 운동량 $n^\varepsilon v^\varepsilon$는 $L^1_{\text{loc}}(0,T; L^1_{\text{loc}})$에서 강하게 $n v$로 수렴한다.
• 운동 에너지 항 $n^\varepsilon |v^\varepsilon|^2$는 $L^1_{\text{loc}}(0,T; L^1_{\text{loc}})$에서 강하게 $n |v|^2$로 수렴한다.
• 정규 및 특이 영역으로의 영역 분할을 통해 상대 엔트로피와 압력 항에 대한 균일한 유계성을 확보함으로써 수렴을 확립한다.
• 제한 시스템은 입자 밀도와 속도에 대한 등온 아이소터프 오일러 방정식과 밀도에 의존하는 점성도를 갖는 압축성 라우르-스톡스 방정식으로 구성된다.