[论文解读] Asymptotic base loci via Okounkov bodies

Sung Rak Choi, Yoonsuk Hyun+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 3, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 23被引用 4

一句话总结

本文建立了光滑射影代数簇上伪有效除子的渐近基簇与它们的极限Okounkov体之间的直接联系。通过分析渐近不变量（如渐近赋值和移动Seshadri常数），作者证明了受限基簇 𝔹₋(D) 与增广基簇 𝔹₊(D) 可以从极限Okounkov体中恢复，从而得到新的拟正与充分正性判别准则、除子型Zariski分解公式，以及通过包含的单纯形所给出的移动Seshadri常数的上下界。

ABSTRACT

An Okounkov body is a convex subset of Euclidean space associated to a divisor on a smooth projective variety with respect to an admissible flag. In this paper, we recover the asymptotic base loci from the Okounkov bodies by studying various asymptotic invariants such as the asymptotic valuations and the moving Seshadri constants. Consequently, we obtain the nefness and ampleness criteria of divisors in terms of the Okounkov bodies. Furthermore, we compute the divisorial Zariski decomposition by the Okounkov bodies, and find upper and lower bounds for moving Seshadri constants given by the size of simplexes contained in the Okounkov bodies.

研究动机与目标

• 通过其极限Okounkov体恢复伪有效除子的受限基簇与增广基簇。
• 利用极限Okounkov体中原点与非负象限的位置关系，建立除子的新拟正性与充分正性判别准则。
• 利用Okounkov体计算伪有效除子的除子型Zariski分解。
• 基于极限Okounkov体中所含单纯形的大小，推导移动Seshadri常数的上下界。

提出的方法

• 作者使用与伪有效除子 D 及可接受旗 Y• 关联的极限Okounkov体 Δ^lim_Y•(D)。
• 他们以渐近赋值和移动Seshadri常数作为关键不变量，将几何基簇与Okounkov体的凸几何联系起来。
• 证明策略依赖于分析原点与非负象限在极限Okounkov体中相对于旗中心的位置。
• 作者通过爆破与扰动，将某点处的Seshadri常数与Okounkov体中射线的最短与最长长度联系起来。
• 他们利用Gromov宽度公式，将Seshadri常数的上确界与辛流形的Gromov宽度联系起来。
• 构造涉及一个双有理模型 f: X̃ → X 和 X̃ 上的一个可接受旗，使得 Δ_Y•(f*D) = Δ_ν(f*D) 对某个赋值 ν 成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 伪有效除子 D 的受限基簇 𝔹₋(D) 是否能通过相对于可接受旗的极限Okounkov体 Δ^lim_Y•(D) 来刻画？
• RQ2 是否能通过非负象限条件从极限Okounkov体中恢复增广基簇 𝔹₊(D)？
• RQ3 渐近不变量（如渐近赋值和移动Seshadri常数）如何与Okounkov体的几何相关联？
• RQ4 能否直接从Okounkov体计算除子型Zariski分解？
• RQ5 能否基于Okounkov体中所含单纯形的大小，为移动Seshadri常数建立上下界？

主要发现

• 受限基簇 𝔹₋(D) 恰好由满足：对任意以 x 为中心的可接受旗 Y•，原点不属于 Δ^lim_Y•(D) 的点 x ∈ X 组成。
• 一个除子 D 是拟正的，当且仅当对任意以 X 中每点 x 为中心的可接受旗 Y•，原点都属于 Δ^lim_Y•(D)。
• 增广基簇 𝔹₊(D) 由满足：对任意原点的任意小邻域 U，对任意以 x 为中心的旗 Y•，U≥0 都不包含于 Δ^lim_Y•(D) 的点 x ∈ X 组成。
• 一个除子 D 是充分正的，当且仅当对每个可接受旗 Y•，存在原点的一个小邻域，使得非负象限 ℝⁿ≥0 包含于 Δ^lim_Y•(D)。
• 移动Seshadri常数 ε(||D||;x) 满足不等式 λ_min(D;x,Y•) ≤ ε(||D||;x) ≤ λ_n(D;x,Y•)，其中 λ_min 与 λ_n 分别表示Okounkov体中射线的最短与最长长度。
• 与充分正除子 A 关联的辛流形 (X,ω_A) 的Gromov宽度 w_G(X,ω_A) 满足不等式 w_G(X,ω_A) ≥ √(sup_{x,Y•} ξ_min(A;x,Y•)/π)，其中 ξ_min 为Okounkov体中的最短长度。