[논문 리뷰] Asymptotic Behavior of Conjunctive Boolean Networks Over Weakly Connected Digraphs

Xudong Chen, Zuguang Gao외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 08. 07.

Gene Regulatory Network Analysis참고 문헌 31인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 약한 연결성을 가진 방향성 그래프 위에서의 결합 부울 네트워크(CBNs)의 점근적 행동을 특성화하기 위해 시스템 단순화 방법을 제안한다. 기존 네트워크를 강하게 연결된 성분이 모두 순환인 간소화된 감소 시스템으로 변환함으로써, 저자들은 감소 시스템이 원래 시스템의 주기 궤도를 유일하게 결정함을 증명하며, 임의의 초기 조건에서 도달하는 한계 순환을 정확히 예측할 수 있음을 보여준다.

ABSTRACT

A conjunctive Boolean network (CBN) is a finite state dynamical system, whose variables take values from a binary set, and the value update rule for each variable is a Boolean function consisting only of logic AND operations. We investigate the asymptotic behavior of CBNs by computing their periodic orbits. When the underlying digraph is strongly connected, the periodic orbits of the associated CBN has been completely understood, one-to-one corresponding to binary necklaces of a certain length given by the loop number of the graph. We characterize in the paper the periodic orbits of CBNs over an arbitrary weakly connected digraphs. We establish, among other things, a new method to investigate their asymptotic behavior. Specifically, we introduce a graphical-approach, termed system reduction, which turns the underlying digraph into a special weakly connected digraph whose strongly connected components are all cycles. We show that the reduced system uniquely determines the asymptotic behavior of the original system. Moreover, we provide a constructive method for computing the periodic orbit of the reduced system, which the system will enter for a given but arbitrary initial condition.

연구 동기 및 목표

• 약한 연결성을 가진 방향성 그래프 위에서의 결합 부울 네트워크(CBNs)의 점근적 행동을 특성화하는 것. 이는 이전 연구가 강하게 연결된 경우에 국한되어 있었기 때문이다.
• 복잡한 비강하게 연결된 구조를 가진 CBNs에서 주기 궤도를 계산하는 데 도전하는 것.
• 원래 CBN을 장기적인 역학을 유지하는 더 단순한 등가 시스템으로 단순화하는 체계적인 방법을 개발하는 것.
• 주어진 초기 상태가 결국 어떤 주기 궤도로 도달할지를 결정하는 구축 가능한 알고리즘을 제공하는 것.
• 강하게 연결된 그래프를 넘어서 CBN 역학의 이해를 확장하여, 더 현실적인 생물학적 및 네트워크 시스템의 분석을 가능하게 하는 것.

제안 방법

• 모든 강하게 연결된 성분이 순환인 구조로 변환되는 '시스템 단순화'라고 불리는 새로운 그래픽적 접근을 도입하여 원래의 약한 연결성을 가진 방향성 그래프를 단순화하는 것.
• 원래 CBN의 역학을 그대로 반영하는 감소 시스템을 정의하여, 주기 궤도를 포함한 동일한 점근적 행동을 보장하는 것.
• 원래 시스템과 감소 시스템 간의 역학을 유지하는 상태 매핑 ω를 구성하며, 다중 간선 연결 경로에 대한 수정을 포함하는 것.
• 감소 시스템 내 순환 길이들의 최소공배수(LCM)를 사용하여 어떤 궤도의 최대 주기 가능성을 결정하는 것.
• 계산의 범위를 양의 길이를 가진 순환으로 제한하여, 시스템의 점근적 행동를 특성화하는 수정된 맵 Ω를 적용하는 것.
• 임의의 주기 궤도에 속한 상태는 감소 시스템의 순환에서의 값에 의해 유일하게 결정됨을 활용하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기저 그래프가 강하게 연결되어 있지 않은 경우, 약한 연결성을 가진 방향성 그래프 위에서의 CBN의 점근적 행동는 어떻게 특성화할 수 있는가?
• RQ2 원래 CBN의 역학과 강하게 연결된 성분이 모두 순환인 단순화된 감소 시스템 간의 관계는 무엇인가?
• RQ3 임의의 초기 조건이 주어졌을 때, 시스템은 어떤 주기 궤도로 들어가며, 이를 효율적으로 계산할 수 있는가?
• RQ4 감소 시스템의 복잡도를 최소화하면서도 CBN의 주기 궤도 구조를 완전히 결정할 수 있는가?
• RQ5 방향성 그래프의 어떤 구조적 성질이 CBNs에서 가능한 주기와 궤도의 구조를 규정하는가?

주요 결과

• 감소 시스템은 원래 CBN의 점근적 행동, 즉 모든 주기 궤도를 유일하게 결정한다.
• CBN 내 임의의 주기 궤도의 주기는 감소 시스템 내 순환 길이들의 최소공배수(LCM)로 나누어 떨어지며, LCM의 약수 중에서 실제로 주기로 나타나지 않는 경우도 존재한다.
• 임의의 초기 상태에서 시스템이 도달하는 정확한 주기 궤도를 계산하는 데 사용할 수 있는 구축 가능한 알고리즘이 제시된다.
• 시스템 단순화 방법은 원래 방향성 그래프를 강하게 연결된 성분이 모두 순환인 형태로 변환함으로써 분석을 단순화하며, 역학적 동등성을 유지한다.
• 양의 길이를 가진 순환으로 제한된 맵 Ω는 시스템의 점근적 행동를 완전히 특성화한다.
• 이 방법은 이전의 강하게 연결된 CBNs에 대한 결과를 일반화하며, 이를 약한 연결성을 가진 그래프로 확장함으로써 생물학적 및 네트워크 역학 분야에서 더 넓은 적용 가능성을 제공한다.