[논문 리뷰] Asymptotic integration of $(1+\alpha)$-order fractional differential equations

Dumitru Bǎleanu, Octavian G. Mustafa외 1명|arXiv (Cornell University)|2010. 10. 22.

Fractional Differential Equations Solutions참고 문헌 6인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 형식 $^0O^{1+\alpha}_t x + a(t)x = 0$의 (1+α)-차분수 미분방정식의 해에 대한 渐近적 적분 공식을 수립한다. 여기서 $\alpha \in (0,1)$이다. 가중 함수 공간 위에서의 수축 사상 원리에 기반하여, $t \to +\infty$일 때 해가 $[a + O(1)] \cdot x_{\text{small}} + b \cdot x_{\text{large}}$와 같이 渐近적으로 행동함을 증명한다. 여기서 $x_{\text{small}}$와 $x_{\text{large}}$는 동차 방정식의 기본 해이다. 결과는 $a(t)$에 대한 적분 조건을 만족할 경우 성립하며, $O(1)$ 항은 일반적으로 $o(1)$으로 개선될 수 없다.

ABSTRACT

oindent{\bf Abstract} We establish the long-time asymptotic formula of solutions to the $(1+\alpha)$--order fractional differential equation ${}_{0}^{\>i}{\cal O}_{t}^{1+\alpha}x+a(t)x=0$, $t>0$, under some simple restrictions on the functional coefficient $a(t)$, where ${}_{0}^{\>i}{\cal O}_{t}^{1+\alpha}$ is one of the fractional differential operators ${}_{0}D_{t}^{\alpha}(x^{\prime})$, $({}_{0}D_{t}^{\alpha}x)^{\prime}={}_{0}D_{t}^{1+\alpha}x$ and ${}_{0}D_{t}^{\alpha}(tx^{\prime}-x)$. Here, ${}_{0}D_{t}^{\alpha}$ designates the Riemann-Liouville derivative of order $\alpha\in(0,1)$. The asymptotic formula reads as $[a+O(1)]\cdot x_{{\scriptstyle small}}+b\cdot x_{{\scriptstyle large}}$ as $t ightarrow+\infty$ for given $a$, $b\in\mathbb{R}$, where $x_{{\scriptstyle small}}$ and $x_{{\scriptstyle large}}$ represent the eventually small and eventually large solutions that generate the solution space of the fractional differential equation ${}_{0}^{\>i}{\cal O}_{t}^{1+\alpha}x=0$, $t>0$.

연구 동기 및 목표

• 변수 계수를 가진 (1+α)-차분수 미분방정식의 해에 대한 장기적 渐近적 공식 유도.
• 고전적 渐近적 적분 이론을 분수계수 미분 연산자로 확장.
• 동차 방정식의 기본 해를 이용하여 해의 渐近적 행동 특성화.
• 해의 형태 $[a + O(1)] \cdot x_{\text{small}} + b \cdot x_{\text{large}}$를 갖는 渐近 전개의 존재를 보장하는 계수 $a(t)$의 조건 규명.

제안 방법

• $[t, \infty)$에서 FDE를 적분하여 베르트라 타입의 적분 방정식 유도.
• 수렴을 보장하기 위해 가중 sup-노름을 갖는 연속 함수의 완비 거리 공간 정의.
• 바나흐 고정점 정리 적용을 통해 해에 대응하는 고정점의 존재성과 유일성 증명.
• 베타 함수를 포함하는 리만-리우빌 분수미분과 적분 변환을 사용한 해 표현 유도.
• $^{1+\alpha}_t$ 연산자의 세 가지 인수분해에 대응하는 세 개의 별개의 적분 연산자 구성: $^1O^{1+\alpha}_t$, $^2O^{1+\alpha}_t$, $^3O^{1+\alpha}_t$.
• $a(t)$에 대한 유계성 조건을 통해 수축 조건 검증, 특히 $[T, \infty)$에서 $s^{1+\alpha}|a(s)|$와 $s^\alpha|a(s)|$의 적분 가능성 포함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 계수 $a(t)$에 어떤 조건이 성립할 경우 (1+α)-차분수 미분방정식 $^iO^{1+\alpha}_t x + a(t)x = 0$의 해가 $t \to +\infty$일 때 渐近 전개를 갖는가?
• RQ2 해는 동차 방정식 $^iO^{1+\alpha}_t x = 0$의 기본 해들의 선형 조합으로 渐近적으로 근사 가능한가?
• RQ3 渐近 공식의 오차 항은 반드시 $O(1)$이어야 하는가, 더 강한 조건 하에서 $o(1)$으로 개선될 수 있는가?
• RQ4 다른 $^{1+\alpha}_t$ 연산자의 인수분해 방식은 渐近 해의 구조에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• $^1O^{1+\alpha}_t$의 경우, $\int_T^\infty s^{1+\alpha}|a(s)|ds < \infty$와 $a(s)$에 대한 노름 조건을 만족할 때, 해는 $x(t) = a + bt^\alpha + O(t^{\alpha-1})$를 만족하며, $O(1)$은 일반적으로 $o(1)$로 개선 가능하다.
• $^2O^{1+\alpha}_t$의 경우, 유사한 적분 및 노름 조건 하에서 해는 $x(t) = bt^\alpha + O(t^{\alpha-1})$로 행동하며, $O(1)$은 일반적으로 $o(1)$로 개선되지 않는다.
• $^3O^{1+\alpha}_t$의 경우, $\int_0^\infty t|a(t)|dt < \infty$와 $\chi = \sup_{t>0} t^{1-\alpha} \int_0^t |a(s)|/(t-s)^{1-\alpha} s^{1-\alpha} ds$ 조건을 만족할 때, 해는 $x(t) = [a + O(1)]t^{\alpha-1} + bt$를 만족하며, 일반적으로 $O(1)$은 $o(1)$로 개선되지 않는다.
• 모든 세 종류의 연산자에 대해 $[a + O(1)] \cdot x_{\text{small}} + b \cdot x_{\text{large}}$ 형태의 渐近 공식이 성립하며, 여기서 $x_{\text{small}}$와 $x_{\text{large}}$는 동차 방정식의 기본 해이다.
• 漸近 공식의 랑다 기호 $O(1)$은 일반적으로 $o(1)$로 바꿀 수 없으며, 이는 $x' \in L^1$이 성립하지 않음과 특정 특이 적분의 발산으로 인해 입증된다.
• 고정점 방법은 가중 함수 공간에서 해를 성공적으로 구성하며, 수축 상수는 $a(t)$의 감쇠성과 적분 가능성 성질에 의존한다.