[논문 리뷰] Asymptotic isoperimetry on groups and uniform embeddings into Banach spaces

Romain Tessera|ArXiv.org|2006. 03. 06.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 19인용 수 20

한 줄 요약

이 논문은 애매한 연결 리군과 하이퍼볼릭 군을 포함한 광범위한 군의 클래스에 대해 $L^p$-공간으로의 균일 임bedding의 渐近 압축률을 특성화한다. 공역 내 구에서 $L^p$-등면적 프로파일에 대한 渐近 하한을 이용해 아핀 등거리 작용을 구성함으로써, 이러한 군들에 대해 힐버트 압축률이 1임을 증명하고, 무한한 3-정규 트리의 $L^p$-공간으로의 임베딩에 대해 최적의 추정치를 제공한다.

ABSTRACT

We characterize the asymptotic behaviour of the compression associated to a uniform embedding into some Lp-space for a large class of groups including connected Lie groups with exponential growth and word-hyperbolic finitely generated groups. In particular, the Hilbert compression rate of these groups is equal to 1. This also provides new and optimal estimates for the compression of a uniform embedding of the infinite 3-regular tree into some Lp-space. The main part of the paper is devoted to the explicit construction of affine isometric actions of amenable Lie groups on Lp-spaces whose compressions are asymptotically optimal. These constructions are based on an asymptotic lower bound of the Lp-isoperimetric profile inside balls. We compute this profile for all amenable connected Lie groups and for all finite p, providing new geometric invariants of these groups. We also relate the Hilbert compression rate with other asymptotic quantities such as volume growth and probability of return of random walks.

연구 동기 및 목표

• 균일 임베딩에 의한 $L^p$-공간으로의 압축의 渐近 행동을 특성화하기 위해, 지수 성장이 있는 연결 리군과 단순 생성된 하이퍼볼릭 군을 포함한 광범위한 군의 클래스에 대해 연구한다.
• 기하학적 및 해석적 기법을 사용하여, 무한한 3-정규 트리의 $L^p$-공간으로의 임베딩에 대해 최적의 압축 추정치를 확립한다.
• 구내에서의 $L^p$-등면적 프로파일을 이용하여, 아메니타블 연결 리군에 대해 渐近적으로 최적의 압축을 갖는 아핀 등거리 작용을 구성한다.
• 체적 성장과 랜덤 워크의 복귀 확률과 같은 기하학적 불변량과 힐버트 압축률을 연결한다.
• 모든 $1 \leq p < \infty$에 대해, 아메니타블 연결 리군에 대한 $L^p$-등면적 프로파일의 점근적 계산을 통해 새로운 기하학적 불변량을 제공한다.

제안 방법

• 공역 내에서 $L^p$-등면적 프로파일 $J_G^{b,p}$를 도입하고, 비교 추정을 통해 최대 $L^p$-압축 함수 $M\rho_{G,p}$와 연결한다.
• 통제된 Følner 쌍의 수열을 사용하여, 아메니타블 군에서 $L^p$-등면적 프로파일의 점근적 하한을 도출한다.
• 아메니타블 연결 리군에 대해, $L^p$-등면적 프로파일의 점근적 행동을 활용하여 $L^p$-공간 위에 명시적인 아핀 등거리 작용을 구성한다.
• Hölder 부등식과 와이어드 프로덕트 $\mathbf{Z} \wr \mathbf{Z}$에서의 단어 길이 추정을 적용하여, 압축 함수의 하한을 유도한다.
• 차분 $\xi_{j+1} - \xi_j = \frac{1}{j^p} \frac{f(j)}{j}$로 정의된 수열 $\xi_j$를 사용하여, $\ell^p(T)$로의 리프시츠 사상 $F$를 구성하고, $\ell^p$-노름 성장에 대한 제어를 한다.
• 조건 $\int_1^\infty \left( \frac{f(t)}{t} \right)^p \frac{dt}{t} < \infty$를 사용하여, 주어진 압축 행동을 갖는 1-코사이클의 존재를 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 아메니타블 연결 리군과 하이퍼볼릭 군에 대해, 균일 임베딩에 의한 $L^p$-공간으로의 압축의 가능한 점근적 행동은 무엇인가?
• RQ2 구 내에서의 $L^p$-등면적 프로파일은 최대 $L^p$-압축 함수 $M\rho_{G,p}$와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 아메니타블 연결 리군에 대해, 점근적으로 최적의 압축을 갖는 $L^p$-공간 위의 아핀 등거리 작용을 구성할 수 있는가?
• RQ4 무한한 3-정규 트리의 균일 임베딩에 의한 $L^p$-공간으로의 최적 압축률은 무엇인가?
• RQ5 힐버트 압축률은 체적 성장과 이러한 군에서의 랜덤 워크의 복귀 확률과 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 모든 $(\mathcal{L})$ 클래스에 속하는 군들, 즉 아메니타블 연결 리군과 단순 생성된 하이퍼볼릭 군에 대해, 힐버트 압축률은 정확히 1이다.
• $\mathbf{Z} \wr \mathbf{Z}$의 최대 $L^p$-압축 함수는 $1 \leq p < \infty$에 대해 $M\rho_{G,p}(t) \succeq t^{p/(2p-1)}$를 만족한다.
• 아메니타블 연결 리군의 구 내에서의 $L^p$-등면적 프로파일은 모든 $1 \leq p < \infty$에 대해 점근적으로 계산되며, 새로운 기하학적 불변량을 제공한다.
• 임의의 증가하는 비선형 함수 $h$에 대해, 적분 조건 $(C_p)$를 만족하는 함수 $f$가 존재하여, 수열 $n_i$에 대해 $f(n_i) \geq c h(n_i)$를 만족함으로써, 간격 압축을 갖는 코사이클의 구성이 가능하다.
• 무한한 3-정규 트리의 $L^p$-공간으로의 압축은, $\|F(x) - F(y)\ olimits_p^p \geq \sum_{j=0}^n \xi_j^p$를 만족하는 리프시츠 사상 $F$를 통해 최적으로 추정된다. 여기서 $\xi_j$는 $f(j)/j$와 유사하게 증가한다.
• 힐버트 압축률은 체적 성장과 랜덤 워크의 복귀 확률과 관련이 있으며, 본 논문은 $M\rho_{G,2}$의 점근적 행동을 통해 이러한 연결 고리를 확립한다.