[논문 리뷰] Asymptotically isometric codes for holography

Thomas Faulkner, Min Li|arXiv (Cornell University)|2022. 11. 22.

Cosmology and Gravitation Theories인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 헬로그래피를 위한 渐近적으로 등장하는 등장하는 양자 오류 수정 코드를 소개한다. 유한한 N에서 등장하지 않는 등장하는 임베딩에도 불구하고, 대규모 N 근사에서 블록 양자장 이론 대수들이 나타난다. 이는 넷 확장을 통해 인과성 및 양자 얽힘 웨지 재구성의 유지됨을 입증하며, 점점 줄어드는 정보 손상 상호보상 정리와 함께, 블록 및 경계 상대 엔트로피 또는 모듈러 흐름이 점점 같아질 경우에만 양자 얽힘 웨지 확장이 존재함을 보여준다.

ABSTRACT

The holographic principle suggests that the low energy effective field theory of gravity, as used to describe perturbative quantum fields about some background has far too many states. It is then natural that any quantum error correcting code with such a quantum field theory as the code subspace is not isometric. We discuss how this framework can naturally arise in an algebraic QFT treatment of a family of CFT with a large-$N$ limit described by the single trace sector. We show that an isometric code can be recovered in the $N ightarrow \infty$ limit when acting on fixed states in the code Hilbert space. Asymptotically isometric codes come equipped with the notion of simple operators and nets of causal wedges. While the causal wedges are additive, they need not satisfy Haag duality, thus leading to the possibility of non-trivial entanglement wedge reconstructions. Codes with complementary recovery are defined as having extensions to Haag dual nets, where entanglement wedges are well defined for all causal boundary regions. We prove an asymptotic version of the information disturbance trade-off theorem and use this to show that boundary theory causality is maintained by net extensions. We give a characterization of the existence of an entanglement wedge extension via the asymptotic equality of bulk and boundary relative entropy or modular flow. While these codes are asymptotically exact, at fixed $N$ they can have large errors on states that do not survive the large-$N$ limit. This allows us to fix well known issues that arise when modeling gravity as an exact codes, while maintaining the nice features expected of gravity, including, among other things, the emergence of non-trivial von Neumann algebras of various types.

연구 동기 및 목표

• 헬로그래피에서 국소 양자장 이론 대수와 정확한 양자 오류 수정 코드 사이의 불일치를 해결하기 위해.
• 유한한 N에서의 효과적 장 이론이 자유도를 과도하게 세어, 등장하지 않는 임베딩을 초래한다는 문제를 다루기 위해.
• 대규모 N CFT를 사용하여 인과 웨지 이외의 영역인 양자 얽힘 웨지로 QEC 프레임워크를 확장하기 위해.
• 근사 코드에서 비어 있지 않은 양자 얽힘 웨지 재구성을 가능하게 하는 조건을 설정하기 위해.
• 경계 인과성을 유지하는 점점 줄어드는 정보 손상 상호보상 정리의 형태를 증명하기 위해.

제안 방법

• 대규모 N CFT의 단일 트레이스 연산자로부터 코드 부분공간을 구성하여, N→∞ 근사에서 블록 효과적 장 이론을 생성한다.
• 유한한 N에서 비이sov로드 인코딩이 가능하도록, 미세한 이론에 코드를 임베딩하기 위해 유계 연산자 VN을 사용한다.
• 고정된 상태에서 인코딩 맵이 대규모 N 근사에서 등장하는 등장으로 수렴함을 정의하여 渐진적으로 등장하는 등장 코드를 정의한다.
• 좋은 행동을 하는 양자 얽힘 웨지를 정의하고 비어 있지 않은 재구성을 가능하게 하기 위해, Haag-쌍대 넷에 대한 넷 확장을 도입한다.
• Borchers의 시공간 튜브 정리와 Green 함수의 논증을 적용하여 인과 영역의 가산성과 인과 웨지 이중성을 정당화한다.
• 블록 및 경계 상대 엔트로피 또는 모듈러 흐름이 점점 같아짐을 통해, 양자 얽힘 웨지 확장의 기준을 설정한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 헬로그래피에서 등장하지 않는 코드가 여전히 일관된 인과성 및 양자 얽힘 웨지 재구성을 지원할 수 있는가?
• RQ2 특히 유형-III1 von Neumann 대수로서의 블록 양자장 이론 대수가, 유한 차원 코드 부분공간이 존재하는 QEC 프레임워크 내에서 어떻게 나타날 수 있는가?
• RQ3 유한한 N 오차를 가진 근사 코드에서 양자 얽힘 웨지 재구성이 가능하게 하는 조건은 무엇인가?
• RQ4 코드가 유한한 N에서 등장하지 않는 경우 경계 인과성이 어떻게 유지되는가?
• RQ5 양자 얽힘 웨지 확장이 존재하는 조건은 무엇이며, 어떻게 특성화할 수 있는가?

주요 결과

• 점점 줄어드는 등장하는 코드는 고정된 상태에서 N→∞ 근사에서 등장하는 등장 행동을 회복하여, 유한한 N QFT에서 자유도 과도 세기 문제를 해결한다.
• 양자 얽힘 웨지 확장의 존재는 블록 및 경계 상대 엔트로피 또는 모듈러 흐름이 점점 같아짐과 동치이다.
• Haag-쌍대 넷에 대한 넷 확장을 통해 잘 정의된 양자 얽힘 웨지와 비어 있지 않은 재구성을 가능하게 하며, 인과 웨지가 Haag 이중성을 만족하지 못하더라도 가능하다.
• 경계 인과성이 코드 확장 동안 유지됨을 보장하는 점점 줄어드는 정보 손상 상호보상 정리가 증명되었다.
• Borchers의 시공간 튜브 정리와 Green 함수의 조밀도 논증을 통해 인과 영역의 가산성이 지지되며, 이는 블록에서의 인과 웨지 이중성을 정당화한다.
• 이 프레임워크는 QFT 진공 얽힘과 일치하는 비어 있지 않은 von Neumann 대수 유형-III1의 존재를 허용하며, 헬로그래피 경계 조건과도 호환된다.