[논문 리뷰] Asymptotically isometric metrics on relatively hyperbolic groups and marked length spectrum

Koji Fujiwara|arXiv (Cornell University)|2013. 11. 04.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 9인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 토럴 상대적으로 하이퍼볼릭 군에 대한 약한 점근적 등장성, 군집적 지오데식 거리 체계에서, 이는 이전의 하이퍼볼릭 군에 대한 결과를 일반화한다. 주요 기여는 두 거리 체계가 같은 마킹된 길이 스펙트럼을 가진다면, 그들의 범위 덮개가 G-등변성 있는 (1,C)-쿼지이소메트리임을 증명하는 것이다. 이는 상대적으로 하이퍼볼릭 기본군을 가진 리만 다각체의 마킹된 길이 스펙트럼 문제를 발전시킨다.

ABSTRACT

We prove asymptotically isometric, coarsely geodesic metrics on a toral relatively hyperbolic group are coarsely equal. The theorem applies to all lattices in SO(n,1). This partly verifies a conjecture by Margulis. In the case of hyperbolic groups/spaces, our result generalizes a theorem by Furman and a theorem by Krat. We discuss an application to the isospectral problem for the length spectrum of Riemannian manifolds. The positive answer to this problem has been known for several cases. All of them have hyperbolic fundamental groups. We do not solve the isospectral problem in the original sense, but prove the universal covers are (1,C)-quasi-isometric if the fundamental group is a toral relatively hyperbolic group.

연구 동기 및 목표

• 상대적으로 하이퍼볼릭 군에서 약한 점근적 등장성 거리 체계가 근사적으로 등가가 되는 조건을 확립하는 것.
• Furman와 Krat의 하이퍼볼릭 군에 대한 결과를 더 넓은 범위의 토럴 상대적으로 하이퍼볼릭 군으로 일반화하는 것.
• 상대적으로 하이퍼볼릭 기본군을 가진 리만 다각체에 대해, 마킹된 길이 스펙트럼 문제를 해결하기 위해, 동일한 마킹된 길이 스펙트럼을 가진 범위 덮개에서 (1,C)-쿼지이소메트리임을 보이는 것.
• 같은 마킹된 길이 스펙트럼을 가진 거리 체계가 쿼지이소메트릭 범위 덮개를 유도하는 조건을 이해하기 위한 프레임워크를 제공하는 것. 이는 기존의 하이퍼볼릭 기본군을 넘어서는 결과를 확장한다.

제안 방법

• 모든 하이퍼볼릭 원소에 대해 군 작용 하에서 이동 길이의 극한이 동일한 것으로 정의된 약한 점근적 등장성의 개념을 사용한다.
• 경로가 일정한 덧셈 오차 내에서 지오데식을 근사하는, 군집적 지오데식 거리 체계의 개념을 적용한다.
• 기본군이 토럴 상대적으로 하이퍼볼릭이고, 거리 체계가 같은 마킹된 길이 스펙트럼을 가진다면, 두 다각체의 범위 덮개 사이에 G-등변성 있는 (1,C)-쿼지이소메트리 사상이 존재하도록 구성한다.
• 범위 덮개에서의 G-작용을 이용하여 궤도 점들에서의 쿼지이소메트리 사상을 전체 공간으로 확장함으로써, 유한한 왜곡을 보장한다.
• 커버링 사상과 G-등변성을 이용한 리프팅 추론을 통해, 범위 덮개 내의 거리를 비교한다.
• 특정 주변 하위군에서 유한 지수의 $\mathbb{Z}^{n_i}$ 부분군이 존재하는 등의, 토럴 상대적으로 하이퍼볼릭 군의 구조적 성질에 의존한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 상대적으로 하이퍼볼릭 군에서 약한 점근적 등장성 거리 체계가 언제 근사적으로 등가가 되는가?
• RQ2 토럴 상대적으로 하이퍼볼릭 기본군을 가진 다각체에 대해, 마킹된 길이 스펙트럼이 범위 덮개의 쿼지이소메트리 유형을 결정하는가?
• RQ3 Furman와 Krat의 하이퍼볼릭 군에 대한 결과를 더 넓은 범위의 토럴 상대적으로 하이퍼볼릭 군으로 확장할 수 있는가?
• RQ4 비하이퍼볼릭 기본군에 대해, 마킹된 길이 스펙트럼 문제는 쿼지이소메트릭 범위 덮개의 관점에서 해결 가능한가?
• RQ5 상대적으로 하이퍼볼릭 군의 행동이 군집적 지오데식 공간에서 약한 점근적 등장성과 근사적 등가성 사이의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 토럴 상대적으로 하이퍼볼릭 군에서 약한 점근적 등장성, 군집적 지오데식 거리 체계는 근사적으로 등가이다.
• 이 결과는 Furman와 Krat의 정리들을 하이퍼볼릭 군에서 상대적으로 하이퍼볼릭 군으로 일반화한다.
• 동일한 마킹된 길이 스펙트럼을 가진, 이소모르픽 토럴 상대적으로 하이퍼볼릭 기본군을 가진 폐쇄된 리만 다각체의 경우, 그들의 범위 덮개는 G-등변성 사상에 의해 (1,C)-쿼지이소메트릭이다.
• 증명 과정에서 궤도 리프팅과 유한한 왜곡을 이용하여, 한 다각체의 범위 덮개에서 다른 다각체로의 G-등변성 (1,C)-쿼지이소메트리 사상을 구성한다.
• 이 결과는 $SO(n,1)$의 모든 격자, 고립된 평평한 평면을 가진 CAT(0) 군, 그리고 하이퍼볼릭 JSJ 조각을 가진 특정 3차원 다각체의 기본군에 적용된다.
• 이 프레임워크는 마킹된 길이 스펙트럼 문제를 이 클래스의 군에 대해, 등장성의 쿼지이소메트리 질문으로 환원함을 보여주며, 등장성이 확보되지 않더라도 성립한다.