[논문 리뷰] Asymptotics of the Gelfand models of the symmetric groups

Pierre‐Loïc Méliot|arXiv (Cornell University)|2010. 09. 21.

Random Matrices and Applications참고 문헌 19인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 Gelfand 측도에서 무작위 분할의 점근적 행동을 비가환 모멘트 방법을 사용하여 조사한다. 여기서 분할의 확률은 그 차원에 비례한다. 첫째, 극한 형태는 Plancherel 측도와 동일한 Logan-Shepp-Kerov-Vershik 곡선을 따른다. 그러나 둘째, 두 번째 차수의 변동은 더 크며, Kerov의 중심극한정리에 비해 √2 스케일링과 추가적인 결정론적 이동을 포함하는 수정된 일반화된 가우시안 과정을 포함한다.

ABSTRACT

If a partition $λ$ of size n is chosen randomly according to the Plancherel measure $P_n[λ] = (\dim λ)^2/n!$, then as n goes to infinity, the rescaled shape of $λ$ is with high probability very close to a non-random continuous curve $Ω$ known as the Logan-Shepp-Kerov-Vershik curve. Moreover, the rescaled deviation of $λ$ from this limit shape can be described by an explicit generalized gaussian process. In this paper, we investigate the analoguous problem when $λ$ is chosen with probability proportional to $\dim λ$ instead of $(\dim λ)^2$. We shall use very general arguments due to Ivanov and Olshanski for the first and second order asymptotics (cf. arXiv:math/0304010); these arguments amount essentially to a method of moments in a noncommutative setting. The first order asymptotics of the Gelfand measures turns out to be the same as for the Plancherel measure; on the contrary, the fluctuations are different (and bigger), although they involve the same generalized gaussian process. Many of our computations relie on the enumeration of involutions and square roots in $S_n$.

연구 동기 및 목표

• Gelfand 측도에서 무작위 분할의 점근적 분포를 분석한다. 여기서 분할 λ의 확률은 dim λ에 비례한다.
• 고전적 Plancherel 측도와의 비교를 통해 Gelfand 측도의 첫째 및 둘째 차수 점근적 성질을 분석한다.
• 다른 분산을 가짐에도 불구하고, 둘 다 동일한 일반화된 가우시안 과정이 변동에 기여하는지 여부를 규명한다.
• Ivanov와 Olshanski의 결과를 활용하여 비가환 모멘트 방법을 Gelfand 측도 설정으로 확장한다.
• β-Plancherel 측도와 랜덤 행렬 이론에서의 β-집합 간 광범위한 연결성을 추측한다.

제안 방법

• Ivanov와 Olshanski가 개발한 비가환 모멘트 방법을 적용하여 대칭군에서 Gelfand 측도의 첫째 및 둘째 차수 점근적 성질을 분석한다.
• Gelfand 측도는 각 크기 n인 분할 λ에 대해 확률이 dim λ에 비례하도록 부여된다는 사실을 이용한다.
• 모멘트를 계산하기 위해 대칭군 𝔖_n 내의 고정점과 제곱근의 수를 세는 데 의존한다.
• 요령 다이어그램의 형태는 √n 요소로 스케일링되며, n→∞의 극한에서 극한 곡선 Ω(s)로부터의 이탈을 연구한다.
• 스펙트럼 분해를 통해 체비세프 다항식과 θ에서의Fourier 급수를 사용하여 극한 변동 과정을 유도한다. 여기서 s=2cosθ이다.
• 핵심 식은 극한 이탈 Δ∞,G(s)를 표준 정규분포 변수 ζk와 사전에 정해진 사항을 포함하는 합으로 표현한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 𝔖_n에서의 Gelfand 측도는 큰 n의 극한에서 Plancherel 측도와 동일한 극한 형태를 갖는가?
• RQ2 Gelfand 측도 하에서 스케일링된 요령 다이어그램의 두 번째 차수 변동은 Plancherel 측도와 어떻게 비교되는가?
• RQ3 Kerov의 중심극한정리에서 유도된 일반화된 가우시안 과정은 여전히 Gelfand 측도에 적용 가능한가, 아니면 수정되어야 하는가?
• RQ4 비가환 모멘트 방법이 Gelfand 측도에 성공적으로 적용되어 점근적 결과를 도출할 수 있는가?
• RQ5 Gelfand 측도(β=1)와 랜덤 행렬 이론에서의 β-집합 간의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• Gelfand 측도 하에서 무작위 분할의 첫째 차수 점근적 극한 형태는 Logan-Shepp-Kerov-Vershik 곡선과 정확히 일치하며, Plancherel 측도와 동일한 결정론적 극한 형태로 수렴함을 확인한다.
• Gelfand 측도 하에서의 둘째 차수 변동은 Plancherel 측도보다 더 크며, 극한 과정의 가우시안 성분에서 √2 스케일링 인자가 존재한다.
• 극한 변동 과정 Δ∞,G(s)는 Δ∞,G(2cosθ) = 1/2 − (2sinθ)/π + √2 Δ∞,P(2cosθ)로 주어지며, 여기서 Δ∞,P는 Kerov의 중심극한정리에서 유도된 일반화된 가우시안 과정이다.
• Plancherel의 경우에 없었던 비결정론적 항 1/2 − (2sinθ)/π가 극한 과정에 포함되어 있다.
• 동일한 일반화된 가우시안 과정 Δ∞,P는 Gelfand와 Plancherel의 두 경우 모두에서 나타나지만, 서로 다른 진폭과 Gelfand의 경우에 추가적인 이동이 있다.
• 결과는 일반적인 β > 0에 대해 β-Plancherel 측도가 유사한 점근적 행동을 보이며, 변동은 √(2/β) 스케일링과 β에 의존하는 결정론적 이동을 포함할 것임을 지지하는 추측을 뒷받침한다.