[논문 리뷰] Atkin and Swinnerton-Dyer congruences and noncongruence modular forms

Wen-Ching Winnie Li, Линг Лонг|arXiv (Cornell University)|2013. 03. 25.

Advanced Mathematical Identities참고 문헌 54인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 비합동 모듈라 형식에 대한 아تكن과 스위너튼-다이어(ASD) 합동관계—헤크 관계의 p진 유사체—를 조사하며, 그들이 갈루아 표현과 형식적 군 법칙과 어떻게 연결되는지 밝혀낸다. 유계 분모를 가진 푸리에 계수는 합동 모듈라 형식임을 증명하고, 비합동 케이스에서의 ASD 합동관계에 대한 증거나를 제시하며, p=5에서의 무게-1 비합동 형식에 대해 추측되는 수퍼합동관계도 포함한다.

ABSTRACT

Atkin and Swinnerton-Dyer congruences are special congruence recursions satisfied by coefficients of noncongruence modular forms. These are in some sense $p$-adic analogues of Hecke recursion satisfied by classic Hecke eigenforms. They actually appeared in different context and sometimes can be obtained using the theory of formal groups. In this survey paper, we introduce the Atkin and Swinnerton-Dyer congruences, and discuss some recent progress on this topic.

연구 동기 및 목표

• 비합동 모듈라 형식의 푸리에 계수의 산술적 성질을 아تكن과 스위너튼-다이어(ASD) 합동관계를 통해 조사하는 것.
• ASD 합동관계와 갈루아 표현 이론 및 형식적 군 법칙 이론 사이의 연결 고리를 확립하는 것.
• 푸리에 계수가 ℚ에 속하고 분모가 유계인 모듈라 형식은 반드시 합동 형식이어야 한다는 것을 증명하는 것.
• 비합동 케이스에서 ASD 유형의 합동관계가 성립하는지 탐구하며, 추측되는 수퍼합동관계를 포함하는 것.
• 아تكن의 U_p 연산자와 그가 p진 모듈라 형식, 특히 j-불변량 및 관련된 모듈라 함수의 맥락에서 수행하는 역할을 다루는 것.

제안 방법

• 비합동 측두형식에 연결된 ℓ-진 갈루아 표현을 이용하여 S_k(Γ)에 속한 형식들에 대한 ASD 유형의 합동관계를 유도한다.
• 스콜의 정리를 적용하여, p가 d개의 서로 다른 p진 단위 고유값을 가지는 경우, S_k(Γ)의 기저가 ASD 합동관계를 만족함을 보인다.
• 형식적 군 법칙을 활용하여, k=2일 때 모듈러스 p^{1+ord_p n}을 갖는 ASD 유형의 합동관계를 유도하며, 이를 드윅의 p진 초함수 급수와 연결한다.
• 기하학적 프로베누스의 특성다항식을 사용하여, S_k(Γ)에서 (2d+1)항 관계로 ASD 합동관계를 일반화한다.
• 디리클레 특성에 의한 타원화를 적용하여 비합동 형식과 합동 헤크 고유형식을 비교함으로써, 상수배까지 일치함을 도출한다.
• 계산 도구(Sage)를 활용하여 추측되는 수퍼합동관계를 검증하며, p=5에서의 무게-1 비합동 형식 f에 대해 t_m(f,5n) ≡ t_m(f,n) mod 5^{2m+4}를 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비합동 모듈라 형식이 언제 아تكن과 스위너튼-다이어 합동관계를 만족하는가?
• RQ2 ASD 합동관계는 분모가 더 약한 조건을 가진 약한 정칙 모듈라 형식으로 어떻게 일반화될 수 있는가?
• RQ3 ASD 합동관계는 얼마나 깊이 갈루아 표현의 구조를 반영하는가?
• RQ4 U_p 연산자는 p진 모듈라 형식과 수퍼합동관계를 생성하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 분모가 유계인 비합동 모듈라 형식은 반드시 합동 부분군에서 유래하는가?

주요 결과

• 푸리에 계수가 ℚ에 속하고 분모가 유계인 모듈라 형식은, 타원화를 통한 헤크 고유형식과의 비교를 통해 반드시 합동 측두형식이어야 한다.
• 프로베누스 작용이 d개의 서로 다른 p진 단위 고유값을 가지는 소수 p에 대해, S_k(Γ)의 기저는 모듈러스 p^{(k-1)(1+ord_p n)}을 갖는 3항 ASD 합동관계를 만족한다.
• 프로베누스의 특성다항식을 사용하여, 모든 n ≥ 1에 대해 (2d+1)항 관계로 ASD 합동관계를 일반화할 수 있다.
• 카자리cki와 스톨은 원래의 것보다 더 약한 모듈러스 p^{(k-1)ord_p n}을 갖는 약한 정칙 형식으로 ASD 합동관계를 확장하였다.
• p=5에서의 무게-1 비합동 형식 f = √(f₁f₂)에 대해 추측되는 수퍼합동관계는, 홀수 n과 m ≥ 1에 대해 t_m(f,5n) ≡ t_m(f,n) mod 5^{2m+4}로 표현된다.
• 아تكن의 j-불변량 계수에 대한 13^m 모듈로 추측은 코이케와 캣에 의해 13-진 헤크 고유형식을 통해 증명되었으며, U_p 연산자와 p진 모듈라 형식 사이의 깊은 연결 고리를 확인하였다.