[논문 리뷰] Auslander's defects over extriangulated categories: an application for the General Heart Construction

Yasuaki Ogawa|arXiv (Cornell University)|2019. 11. 01.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 18인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 아울랜더의 공식을 외부 삼중화 카테고리로 확장하여, 아울랜더의 결함, 유한적으로 표현 가능한 함자, 왼쪽 완전 함자와 관련된 국소화 시퀀스를 수립한다. 이 프레임워크를 적용하여 삼중화 카테고리에서 코터시온 쌍의 하트가 코터시온 클래스 위의 왼쪽 완전 함자 카테고리와 카테고리적으로 동치임을 보이며, 이는 t-구조와 클러스터 트리빙 부분카테고리에 관한 이전 결과들을 통합하고 일반화한다.

ABSTRACT

The notion of extriangulated category was introduced by Nakaoka and Palu giving a simultaneous generalization of exact categories and triangulated categories. Our first aim is to provide an extension to extriangulated categories of Auslander's formula: for some extriangulated category $\mathcal{C}$, there exists a localization sequence $\operatorname{\mathsf{def}}\mathcal{C} o\operatorname{\mathsf{mod}}\mathcal{C} o\operatorname{\mathsf{lex}}\mathcal{C}$, where $\operatorname{\mathsf{lex}}\mathcal{C}$ denotes the full subcategory of finitely presented left exact functors and $\operatorname{\mathsf{def}}\mathcal{C}$ the full subcategory of Auslander's defects. Moreover we provide a connection between the above localization sequence and the Gabriel-Quillen embedding theorem. As an application, we show that the general heart construction of a cotorsion pair $(\mathcal{U},\mathcal{V})$ in a triangulated category, which was provided by Abe and Nakaoka, is same as the construction of a localization sequence $\operatorname{\mathsf{def}}\mathcal{U} o\operatorname{\mathsf{mod}}\mathcal{U} o\operatorname{\mathsf{lex}}\mathcal{U}$.

연구 동기 및 목표

• 아벨 카테고리에서 외부 삼중화 카테고리로 아울랜더의 공식을 확장하는 것.
• 외부 삼중화 카테고리에서 아울랜더의 결함, 유한적으로 표현 가능한 함자, 왼쪽 완전 함자를 포함하는 국소화 시퀀스를 수립하는 것.
• 이 시퀀스를 정확한 카테고리에 대한 가브리엘-퀴렌 임bedding 정리와 연결하는 것.
• 이 프레임워크를 삼중화 카테고리에서 코터시온 쌍의 일반적인 하트 구성에 적용하는 것.
• 코터시온 쌍의 하트가 코터시온 클래스 위의 왼쪽 완전 함자 카테고리와 카테고리적으로 동치임을 보이는 것.

제안 방법

• 왼쪽 완전 함자에 대한 포함의 왼쪽 수반을 통한 얀다 임베딩의 합성의 핵으로서, 외부 삼중화 카테고리의 맥락에서 아울랜더의 결함을 정의한다.
• 국소화 시퀀스 def C → mod C → lex C를 구성한다. 여기서 mod C는 유한적으로 표현 가능한 함자 카테고리이고, lex C는 왼쪽 완전 함자에 대한 전체 부분카테고리이다.
• C → mod C → lex C의 합성된 함자 E_C = Q∘Y를 통해, 외부 삼중화 카테고리가 정확하거나 아벨 카테고리일 조건을 특성화한다.
• 직접 합성을 취하고 하트 구성의 구조를 분석하여 국소화 시퀀스를 가브리엘-퀴렌 임베딩 정리와 연결한다.
• 삼중화 카테고리 T의 코터시온 쌍 (U,V)의 하트 H̲가 U[−1] 위의 왼쪽 완전 함자에 대한 함자 Ψ를 통해 lex U 와 자연스럽게 동치임을 증명한다.
• 공동함자 H와 합성된 함자 Φ = Ψ⁻¹∘Q∘Y 사이의 동형사상을 수립하여 H ≅ Φ임을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 아울랜더의 공식은 아벨 카테고리에서 외부 삼중화 카테고리로 일반화될 수 있는가?
• RQ2 외부 삼중화 카테고리 C에서 국소화 시퀀스 def C → mod C → lex C의 구조는 어떠한가?
• RQ3 이 국소화 시퀀스는 정확한 카테고리에 대한 가브리엘-퀴렌 임베딩 정리와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 삼중화 카테고리에서 코터시온 쌍의 하트는 코터시온 클래스 위의 왼쪽 완전 함자 카테고리와 동치인가?
• RQ5 이 동치 아래에서 공통함자 H: T → H̲는 합성된 함자 Q∘Y와 대응하는가?

주요 결과

• 모든 약한-핵을 갖는 외부 삼중화 카테고리 C에 대해 국소화 시퀀스 def C → mod C → lex C가 존재한다.
• 함자 E_C: C → lex C는 정확하고 충실한 함수가 되는 것과 동시에 C가 정확한 카테고리일 조건이다.
• 함자 E_C가 정확한 동치가 되는 것과 동시에 C가 아벨 카테고리일 조건이며, 이 경우 C ≅ lex C이다.
• 삼중화 카테고리 T의 코터시온 쌍 (U,V)의 하트 H̲는 자연스럽게 lex U 와 동치이다.
• 공동함자 H: T → H̲는 합성된 함자 Φ = Ψ⁻¹∘Q∘Y와 동형이며, Ψ: H̲ → lex U 는 동치이다.
• 동치 Ψ: H̲ → lex U 는 전사적이고 충실하며 본질적으로 전사적이며, 하트를 U[−1] 위의 왼쪽 완전 함자 카테고리와 카테고리적으로 식별한다.