[논문 리뷰] Automatic shape derivatives for transient PDEs in FEniCS and Firedrake

Jørgen S. Dokken, Sebastian K. Mitusch외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 01. 27.

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics참고 문헌 29인용 수 18

한 줄 요약

이 논문은 FEniCS와 Firedrake에서 시간에 따라 변화하는 비선형 PDE에 대해 정적 및 변형되는 도메인에서 제1계 및 제2계 형태 도함수를 자동으로 계산하는 고수준 알고리즘 미분 프레임워크를 제시한다. dolfin-adjoint를 확장하여 변분 형식의 기호적 변환을 통해 메쉬 변화를 추적함으로써, 이 방법은 이산적으로 일관된 형태 최적화를 효율적으로 가능하게 하며, 타일러 테스트를 통한 수렴성 검증을 제공한다.

ABSTRACT

In industry, shape optimization problems are of utter importance when designing structures such as aircraft, automobiles and turbines. For many of these applications, the structure changes over time, with a prescribed or non-prescribed movement. Therefore, it is important to capture these features in simulations when optimizing the design of the structure. Using gradient based algorithms, deriving the shape derivative manually can become very complex and error prone, especially in the case of time-dependent non-linear partial differential equations. To ease this burden, we present a high-level algorithmic differentiation tool that automatically computes first and second order shape derivatives for partial differential equations posed in the finite element frameworks FEniCS and Firedrake. The first order shape derivatives are computed using the adjoint method, while the second order shape derivatives are computed using a combination of the tangent linear method and the adjoint method. The adjoint and tangent linear equations are symbolically derived for any sequence of variational forms. As a consequence our methodology works for a wide range of PDE problems and is discretely consistent. We illustrate the generality of our framework by presenting several examples, spanning the range of linear, non-linear and time-dependent PDEs for both stationary and transient domains.

연구 동기 및 목표

• 유한요소 프레임워크에서 시간에 따라 변화하는 비선형 PDE에 대한 형태 도함수 계산을 자동화하는 것.
• 형태 최적화 문제에서 정적 및 일시적(형태 변화) 도메인을 모두 지원하는 것.
• 메쉬에 의존하는 변분 형식을 다룰 수 있도록 고수준 알고리즘 미분을 확장하여 이산 일관성을 확보하는 것.
• 제1 및 제2계 도함수의 정확성을 타일러 테스트를 통해 검증하는 것.
• 최소한의 코드 오버헤드로 선형, 비선형, 시간에 따라 변화하는 PDE에 대해 프레임워크의 일반성을 입증하는 것.

제안 방법

• 프레임워크는 FEniCS/Firedrake의 Mesh 클래스와 어셈블리 루틴을 오버로딩하여 dolfin-adjoint를 확장하여 메쉬 변형을 추적한다.
• 제1계 형태 도함수는 인접도 방법을 사용하여 계산되며, 형태 파라미터의 수와 무관하게 단일 인접도 PDE를 푸는 방식이다.
• 제2계 형태 도함수는 탄성선형 방법과 인접도 방법의 조합을 통해 계산되며, 헤시안 행렬 계산을 가능하게 한다.
• 이 방법은 UFL을 통한 변분 형식의 기호적 변환을 사용하며, Gâteaux 도함수와 기준 요소로의 역매핑을 통해 메쉬 민감도 분석을 수행한다.
• 계산 그래프에는 메쉬 파라미터가 포함되어 있어 메쉬 기하학적 변화를 통한 자동 미분이 가능하다.
• 이 프레임워크는 고수준 AD의 성능 이점을 그대로 계승하여, 최적에 가까운 메모리 사용과 네이티브 병렬 처리 지원을 제공한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 FEniCS와 Firedrake에서 시간에 따라 변화하는 PDE에 대해 이동하는 도메인을 갖는 형태 도함수를 고수준 알고리즘 미분을 통해 확장하여 계산할 수 있는가?
• RQ2 기호적 변분 형식을 사용하여 비선형, 일시적 PDE에 대해 제1 및 제2계 형태 도함수를 효율적이고 정확하게 계산할 수 있는가?
• RQ3 타일러 전개를 통해 검증했을 때, 계산된 형태 도함수의 수렴 행동은 어떠한가?
• RQ4 복잡한 비선형 PDE에서 형태 도함수 평가의 계산 비용은 정방 문제에 비해 어떻게 되는가?
• RQ5 메쉬에 의존하는 변분 형식을 통한 미분 시, 이 프레임워크는 이산 일관성을 어느 정도 유지하는가?

주요 결과

• 제1계 형태 도함수는 타일러 테스트에서 약 1.00의 수렴 속도를 확보하여 정확성이 확인되었다.
• 제2계 형태 도함수의 첫 번째 도함수 항은 2.00의 수렴 속도를, 두 번째 도함수 항은 2.99~3.12의 수렴 속도를 확보하여 제2계 정확성이 확인되었다.
• 제1계 도함수의 인접도 해법은 정방 해법보다 빠르며, 312.00 s 대비 465.34 s로, 비선형 정방 문제에서 시간 단위당 약 2회의 뉴턴 반복이 필요하기 때문이다.
• 제2계 도함수 계산은 807.52 s가 소요되었으며, 이는 정방 해법 시간의 1.74배로, 더 높은 복잡성에도 불구하고 스케일링 가능성을 보여주었다.
• 전체 형태 미분 프레임워크는 추가로 7줄의 코드만 필요했으며, 메쉬 변형은 26줄로 구현되어 코드 침범 최소화를 입증했다.
• 이 프레임워크는 14,808개의 자유도를 가진 복잡한 라우지-나비에-스토크스 문제를 성공적으로 처리하여 실제 산업 문제 적용 가능성을 입증했다.