[论文解读] Automorphic Forms and Lorentzian Kac--Moody Algebras. Part I

Valeri A. Gritsenko, Viacheslav V. Nikulin|ArXiv.org|Oct 31, 1996

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 34被引用 11

一句话总结

本文使用基于具有两个负平方的反射性格的通用方法，对具有格Weyl向量的椭圆型、秩3的对称与扭结双曲广义Cartan矩阵进行分类。引入了李反射自守形式，并提出了算术镜像对称猜想，将IV型域上的反射自守形式与双曲根系联系起来，为第二部分中洛伦兹型Kac–Moody代数的自守校正奠定了基础。

ABSTRACT

Using the general method which was applied to prove finiteness of the set of hyperbolic generalized Cartan matrices of elliptic and parabolic type, we classify all symmetric (and twisted to symmetric) hyperbolic generalized Cartan matrices of elliptic type and of rank 3 with a lattice Weyl vector. We develop the general theory of reflective lattices T with 2 negative squares and reflective automorphic forms on homogeneous domains of type IV defined by T. We consider this theory as mirror symmetric to the theory of elliptic and parabolic hyperbolic reflection groups and corresponding hyperbolic root systems. We formulate Arithmetic Mirror Symmetry Conjecture relating both these theories and prove some statements to support this Conjecture. This subject is connected with automorphic correction of Lorentzian Kac--Moody algebras. We define Lie reflective automorphic forms which are the most beautiful automorphic forms defining automorphic Lorentzian Kac--Moody algebras, and we formulate finiteness Conjecture for these forms. Detailed study of automorphic correction and Lie reflective automorphic forms for generalized Cartan matrices mentioned above will be given in Part II.

研究动机与目标

• 对具有格Weyl向量的椭圆型、秩3的对称与扭结双曲广义Cartan矩阵进行分类。
• 发展具有两个负平方的反射性格及其在IV型Hermitian对称域上的反射自守形式的一般理论。
• 在椭圆/抛物型双曲反射群理论与反射自守形式理论之间建立镜像对称对偶性。
• 提出算术镜像对称猜想，将两套理论联系起来，并以初步结果加以支持。
• 将李反射自守形式定义为定义自守洛伦兹型Kac–Moody代数的最自然的自守形式，并提出其有限性猜想。

提出的方法

• 将此前用于证明椭圆型与抛物型双曲广义Cartan矩阵有限性的通用方法，应用于具有格Weyl向量的秩3对称与扭结情形的分类。
• 研究签名为(2, n)的反射性格T及其在IV型Hermitian对称域上的相关自守形式。
• 利用有界对称域上的自守形式理论，分析反射除子与Weyl向量的结构与有限性。
• 引入李反射自守形式的概念，即通过其Borcherds乘积定义洛伦兹型Kac–Moody代数的自守形式。
• 基于镜像对称原理，建立反射群几何与自守形式算术之间的对偶性。
• 将算术镜像对称猜想作为桥梁，连接两套对偶理论：双曲根系与反射自守形式。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些具有格Weyl向量的椭圆型、秩3对称与扭结双曲广义Cartan矩阵存在，以及如何对它们进行分类？
• RQ2 IV型域上的反射自守形式如何与具有两个负平方的格的几何相关联？
• RQ3 椭圆/抛物型双曲反射群理论与Hermitian对称域上反射自守形式理论之间的确切对偶性是什么？
• RQ4 李反射自守形式的结构与有限性特征是什么，它们如何定义自守洛伦兹型Kac–Moody代数？
• RQ5 算术镜像对称猜想如何统一自守形式的算术与双曲根系的组合学？

主要发现

• 本文使用通用有限性方法，对所有具有格Weyl向量的椭圆型、秩3对称与扭结双曲广义Cartan矩阵进行了分类。
• 建立了椭圆/抛物型双曲反射群理论与IV型域上反射自守形式理论之间的对偶性。
• 引入了李反射自守形式的概念，作为定义自守洛伦兹型Kac–Moody代数的最自然的自守形式类别。
• 提出了算术镜像对称猜想，主张反射自守形式与双曲根系之间存在深刻联系。
• 提出了李反射自守形式的有限性猜想，表明在特定条件下仅存在有限多个此类形式。
• 建立了洛伦兹型Kac–Moody代数自守校正的基础框架，详细研究留待第二部分。