[논문 리뷰] Automorphism tower problem and semigroup of endomorphisms for free Burnside groups

Varujan Atabekyan|arXiv (Cornell University)|2013. 12. 31.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 15인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 자유 버누이 군 $B(m,n)$에 대한 자동형사 탑 문제를 해결하며, 홀수 $n \geq 1003$ 이고 $m > 1$일 때 $\mathrm{Aut}(B(m,n))$가 완비임을 증명함으로써, 중심이 자명하고 모든 자동형사가 내부 자동형사임을 의미한다. 핵심 결과는 $\mathrm{Inn}(B(m,n))$가 $\mathrm{Aut}(B(m,n))$ 내부에서 자유 버누이 군과 동형인 유일한 정규부분군임을 보여주며, 이는 자동형사 탑이 첫 번째 단계에서 멈추게 되어 절대 자유 군의 경우와 유사하다.

ABSTRACT

We have proved that the group of all inner automorphisms of the free Burnside group $B(m,n)$ is the unique normal subgroup in $Aut(B(m,n))$ among all its subgroups, which are isomorphic to free Burnside group $B(s,n)$ of some rank $s$ for all odd $n\ge1003$ and $m>1$. It follows that the group of automorphisms $Aut(B(m,n))$ of the free Burnside group $B(m,n)$ is complete for odd $n\ge1003$, that is it has a trivial center and any automorphism of $Aut(B(m,n))$ is inner. Thus, for groups $B(m,n)$ is solved the automorphism tower problem and is showed that it is as short as the automorphism tower of the absolutely free groups. Moreover, proved that every automorphism of $End(B(m,n))$ is a conjugation by an element of $Aut(B(m,n))$.

연구 동기 및 목표

• 자유 버누이 군 $B(m,n)$에 대해 홀수 지수 $n \geq 1003$ 이고 랭크 $m > 1$일 때 자동형사 탑 문제를 해결하기.
• $\mathrm{Aut}(B(m,n))$가 완비임을 입증하기, 즉 중심이 없고 모든 자동형사가 내부 자동형사임을 의미함.
• $\mathrm{Inn}(B(m,n))$가 $\mathrm{Aut}(B(m,n))$의 정규부분군 중에서 자유 버누이 군 $B(s,n)$와 동형인 유일한 부분군임을 보여주기.
• 준동형사 반군 $\mathrm{End}(B(m,n))$의 자동형사군을 특성화하기.
• 기존의 토르션 없는 군에 대한 자동형사 탑 결과를 큰 홀수 지수를 가진 주기적, 상대적으로 자유 군으로 확장하기.

제안 방법

• 자유 버누이 군 $B(m,n)$가 자유군의 $n$제곱으로 생성된 정규부분군을 몫으로 취한 구조를 활용함.
• 아디안의 저서에서 개발된 기법을 이용해 $n \geq 1003$인 무한 단순 주기적 군의 존재를 이용해 정규부분군을 분석함.
• 만일 $\mathrm{Inn}(G)$가 $\mathrm{Aut}(G)$에 특성부분군이라면 $\mathrm{Aut}(G)$는 완비임을 보여주는 기준을 적용하고, $\mathrm{Inn}(B(m,n))$가 유일한 그러한 정규부분군임을 증명함.
• $\mathrm{End}(B(m,n))$의 자동형사를 분석하기 위해, 모든 그러한 자동형사가 $\mathrm{Aut}(B(m,n))$의 원소에 의한 코너지에 의해 유도됨을 보임.
• 특히 포먼에크의 자유군에 대한 작업을 확장하여 상대적으로 자유 군의 준동형사 반군과 자동형사군에 대한 기존 결과를 활용함.
• $B(m,n)$가 홀수 $n \geq 665$일 때 중심이 자명함을 알고 있으며, 필요한 구조적 성질을 확보하기 위해 이를 $n \geq 1003$으로 강화함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 자유 버누이 군에 대해 홀수 지수 $n \geq 1003$일 때 자동형사군 $\mathrm{Aut}(B(m,n))$는 완비인가?
• RQ2 자기 자동형사 탑이 한 단계에서 멈추는가? 즉, $\mathrm{Aut}(B(m,n))$가 $\mathrm{Inn}(B(m,n))$와 동형인가?
• RQ3 $\mathrm{Inn}(B(m,n))$는 $\mathrm{Aut}(B(m,n))$의 정규부분군 중에서 자유 버누이 군 $B(s,n)$와 동형인 유일한 부분군인가?
• RQ4 준동형사 반군 $\mathrm{End}(B(m,n))$의 자동형사들은 $B(m,n)$의 자동형사와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 주기적, 상대적으로 자유 군인 $B(m,n)$의 자동형사 탑은 절대 자유 군의 경우만큼 짧을 수 있는가?

주요 결과

• 모든 홀수 $n \geq 1003$ 이고 $m > 1$에 대해 군 $\mathrm{Aut}(B(m,n))$는 완비이며, 중심이 자명하고 모든 자동형사가 내부 자동형사임을 의미함.
• $\mathrm{Inn}(B(m,n))$는 $\mathrm{Aut}(B(m,n))$의 정규부분군 중에서 어떤 $s$에 대해 자유 버누이 군 $B(s,n)$와 동형인 유일한 부분군임.
• $B(m,n)$의 자동형사 탑은 한 단계에서 멈추며, 즉 $B(m,n) \lhd \mathrm{Aut}(B(m,n)) = \mathrm{Aut}(\mathrm{Aut}(B(m,n)))$임을 의미함. 절대 자유 군의 경우와 유사함.
• $\mathrm{Aut}(B(m,n))$는 $m = k$일 때에만 $\mathrm{Aut}(B(k,n))$와 동형이며, 이는 랭크 불변성 성질을 증명함.
• $\mathrm{End}(B(m,n))$의 모든 자동형사는 $\mathrm{Aut}(B(m,n))$의 원소에 의한 코너지에 의해 유도되며, 즉 어떤 $\alpha \in \mathrm{Aut}(B(m,n))$에 대해 $S(\beta) = \alpha \circ \beta \circ \alpha^{-1}$임.
• 이 결과는 아디안의 저서에서 구성된 $n \geq 1003$인 무한 단순 주기적 군(순환부분군을 가짐)의 존재에 의존하며, 이들은 $\mathrm{Aut}(B(m,n))$의 정규부분군 분석에 사용됨.