[논문 리뷰] Automorphisms of some Toeplitz and other minimal shifts with sublinear complexity

Ethan M. Coven, Anthony Quas외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 05. 11.

semigroups and automata theory인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 복잡도가 선형 이하인 최소 이송의 자기동형군을 조사하며, 토플리츠 이송과 원시 일정 길이 치환에 초점을 맞춘다. 두 측면의 자기동형군이 특정 토플리츠 이송 클래스에서 순환임을 증명하고, 원시 일정 길이 치환 이송의 경우 이 군을 계산하는 알고리즘을 제공하여 이러한 시스템 간의 동형성을 계산할 수 있게 한다.

ABSTRACT

We study the automorphism group of an infinite minimal shift $(X,\sigma)$ such that the complexity difference function, $p(n+1)-p(n)$, is bounded. We give some new bounds on $\mbox{Aut}(X,\sigma)/\langle \sigma angle$ and also study the one-sided case. For a class of Toeplitz shifts, including the class of shifts defined by constant length primitive substitutions with a coincidence and with height one, we show that the two-sided automorphism group is a cyclic group. We next focus on shifts generated by primitive constant length substitutions. For these shifts, we give an algorithm that computes their two-sided automorphism group, As a corollary we describe how to compute the set of conjugacies between two such shifts.

연구 동기 및 목표

• 복잡도가 선형 이하인 최소 이송의 자기동형군의 구조를 규명하는 것.
• 두 측면 및 한 측면 설정에서 Quotient group Aut(X,σ)/⟨σ⟩의 경계를 결정하는 것.
• 특히 토플리츠 이송에서 두 측면의 자기동형군이 순환일 조건을 규명하는 것.
• 원시 일정 길이 치환에 의해 생성된 이송의 두 측면 자기동형군을 계산하는 알고리즘을 개발하는 것.
• 이 알고리즘을 사용하여 두 치환 이송 간의 동형성을 효과적으로 계산하는 것.

제안 방법

• 복잡도 함수의 증가를 제한하고 자기동형의 구조를 제약하기 위해 p(n+1)−p(n)의 복잡도 차수 함수를 분석한다.
• 기호 동역학 및 어휘 조합론의 결과를 활용하여 복잡도가 선형 이하인 이송을 연구한다.
• 원시 일정 길이 치환에서 공 coincidence 및 높이 1 조건을 사용하여 자기동형군의 순환성을 확립한다.
• 치환 행렬의 구조와 고정점을 기반으로 한 알고리즘을 개발하여 자기동형군을 계산한다.
• 원시 일정 길이 치환 이송의 자기동형은 유한 차수의 형태에 의해 유도된다는 사실을 활용한다.
• 자기동형이 이송 공간에서 작용하는 방식을 분석하여 두 치환 이송 간의 동형성을 계산하는 데 알고리즘을 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 복잡도가 선형 이하인 최소 이송의 두 측면 자기동형군이 순환일 조건은 무엇인가?
• RQ2 복잡도 함수의 차수에 따라 Quotient group Aut(X,σ)/⟨σ⟩는 어떻게 경계될 수 있는가?
• RQ3 공 coincidence 및 높이 1 조건을 만족하는 원시 일정 길이 치환에 의해 정의된 토플리츠 이송의 자기동형군의 구조는 무엇인가?
• RQ4 원시 일정 길이 치환에 의해 생성된 이송의 두 측면 자기동형군을 계산하는 알고리즘을 구성할 수 있는가?
• RQ5 자기동형군을 사용하여 두 치환 이송 간의 동형성을 효과적으로 계산할 수 있는가?

주요 결과

• 공 coincidence 및 높이 1 조건을 만족하는 원시 일정 길이 치환에 의해 정의된 토플리츠 이송의 두 측면 자기동형군은 순환이다.
• 복잡도가 선형 이하인 일부 토플리츠 이송에 대해서는 Quotient group Aut(X,σ)/⟨σ⟩가 유한하고 경계되어 있다.
• 원시 일정 길이 치환에 의해 생성된 이송의 두 측면 자기동형군을 계산하는 알고리즘이 제시된다.
• 이 알고리즘을 통해 두 치환 이송 간의 동형성 집합을 계산할 수 있다.
• 원시 일정 길이 치환 이송의 자기동형군은 유한하며, 치환의 구조를 이용해 명시적으로 결정할 수 있다.
• 제시된 조건 하에서 자기동형군이 자명하거나 순환임을 확인하는 결과가 도출된다.