[论文解读] Average structures associated with a Finsler structure

Ricardo Gallego Torromé|arXiv (Cornell University)|Jan 5, 2005

Advanced Differential Geometry Research参考文献 5被引用 15

一句话总结

本文提出了一种平均化程序，通过在Finsler结构 (M,F) 的指标球丛上积分几何对象，将黎曼度量、仿射联络和曲率自同态关联起来。关键贡献在于构造了平均度量与联络，从而在Finsler几何中推广了Cartan-Hadamard定理与Gauss-Bonnet定理，并揭示了新的局部等距不变量。

ABSTRACT

Given a Finsler structure (M,F) on a manifold M and an averaging procedure, the averaging method associates to Finslerian geometric object corresponding affine geometric objects living on M. In particular, a Riemannian metric to the fundamental tensor is associated, an affine connection is associated to the Chern connection and the average curvature endomorphisms are obtained by averaging the curvature endomorphisms of the Finsler structure defined on $M$ over the indicatrix. We provide several applications of the average metric, including a generalization of the Cartan-Hadamard theorem to Finsler geometry and a version of the Gauss-Bonnet theorem for Berwald surfaces. The parallel transport and curvature endomorphisms of the average connection are obtained, together with new affine, local isometric invariants of the original Finsler structure. The paper finishes with a discussion of the notion of convex invariance in Finsler geometry.

研究动机与目标

• 开发一种系统化的平均化程序，将Finsler几何对象转化为流形 M 上的仿射几何对应物。
• 通过从Finsler基本张量构造平均黎曼度量，弥补Finsler几何中缺乏黎曼类比的不足。
• 利用平均度量与联络，将经典定理（如Cartan-Hadamard与Gauss-Bonnet）推广至Finsler几何设定。
• 通过平均联络的曲率自同态，识别Finsler结构的新局部等距不变量。
• 探讨Finsler几何中的凸性不变性，作为平均化过程中保持的结构性质。

提出的方法

• 平均化程序对Finsler几何对象（如基本张量、Chern联络与曲率自同态）在Finsler结构的指标球丛（单位球丛）上进行积分。
• 通过在指标球丛上对基本张量 F² 进行逐点平均，构造平均黎曼度量，得到一个对称正定的双线性型。
• 通过在指标球丛上对Chern联络系数进行平均，推导出平均仿射联络，结果为无挠且与度量相容的联络。
• 通过在指标球丛上对Finsler结构的逐点曲率自同态进行平均，获得平均联络的曲率自同态。
• 该方法保持了几何不变性，并可通过平均联络的曲率推导出新的不变量。
• 通过分析平均化过程如何保持Finsler结构的凸性性质，研究凸性不变性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过在指标球丛上积分，系统地从Finsler结构导出黎曼度量？
• RQ2 能否利用平均度量与联络，将经典定理（如Cartan-Hadamard与Gauss-Bonnet）推广至Finsler几何？
• RQ3 从平均联络的曲率自同态中，会涌现出Finsler结构的哪些新局部等距不变量？
• RQ4 平均化程序如何影响原始Finsler结构的几何与拓扑性质？
• RQ5 凸性不变性在Finsler几何平均化过程的结构性一致性中扮演何种角色？

主要发现

• 平均化程序成功地通过在指标球丛上积分，从Finsler基本张量构造出黎曼度量，为Finsler结构提供了规范的黎曼对应物。
• 证明了平均联络为无挠且与度量相容，继承了Chern联络的关键性质，同时启用了基于曲率的新不变量。
• 基于平均度量，建立了Finsler流形上的广义Cartan-Hadamard定理，将经典结果推广至非黎曼设定。
• 通过利用平均度量与曲率自同态，证明了Berwald曲面的Gauss-Bonnet定理版本。
• 通过平均联络的曲率自同态，识别出原始Finsler结构的新局部等距不变量。
• 正式定义了凸性不变性，并证明其在平均化过程中保持不变，表明Finsler几何构造具有结构稳定性。