[论文解读] Average Symmetry-Protected Topological Phases

Ruochen Ma, Chong Wang|arXiv (Cornell University)|Sep 6, 2022

Topological Materials and Phenomena参考文献 84被引用 7

一句话总结

本文引入了平均对称性保护拓扑（ASPT）相的概念，其中拓扑序并非由精确对称性保护，而是由在 disorder 平均后仍保持的对称性保护。通过装饰域壁方法，作者证明：若装饰的缺陷维度高于 (0+1)d，则在热力学极限下边界几乎必然为长程纠缠，将 t’Hooft 异常推广至平均对称性——称为“平均异常”——并扩展了 LSM 定理至仅具有平均晶格对称性的体系。

ABSTRACT

Symmetry-protected topological (SPT) phases are many-body quantum states that are topologically nontrivial as long as the relevant symmetries are unbroken. In this work we show that SPT phases are also well defined for average symmetries, where quenched disorders locally break the symmetries, but restore the symmetries upon disorder averaging. An example would be crystalline SPT phases with imperfect lattices. Specifically, we define the notion of average SPT for disordered ensembles of quantum states. We then classify and characterize a large class of average SPT phases using a decorated domain wall approach, in which domain walls (and more general defects) of the average symmetries are decorated with lower dimensional topological states. We then show that if the decorated domain walls have dimension higher than $(0+1)d$, then the boundary states of such average SPT will almost certainly be long-range entangled, with probability approaching $1$ as the system size approaches infinity. This generalizes the notion of t'Hooft anomaly to average symmetries, which we dub "average anomaly". The average anomaly can also manifest as constraints on lattice systems similar to the Lieb-Schultz-Mattis (LSM) theorems, but with only average lattice symmetries. We also generalize our problem to "quantum disorders" that can admit short-range entanglement on their own, and develop a theory of such generalized average SPTs purely based on density matrices and quantum channels. Our results indicate that topological quantum phenomena associated with average symmetries can be at least as rich as those with ordinary exact symmetries.

研究动机与目标

• 建立在平均对称性下对称性保护拓扑（SPT）相的系统性框架，其中局部 disorder 破坏对称性，但通过对 disorder 实现的平均恢复对称性。
• 解决在仅具有平均对称性保护的无序体系中，体相拓扑不变量和边界约束是否仍具有意义，特别是具有晶格缺陷的晶格 SPT。
• 将 t’Hooft 异常的概念推广至仅在平均意义下保持的对称性体系，即对称性并非精确成立，而是平均成立。
• 利用密度矩阵和量子通道发展广义平均 SPT 理论，适用于开放量子体系和短程纠缠量子 disorder。
• 探索在单个 disorder 实现可经 adiabatic 连接的无序系综中，拓扑序的鲁棒性，从而实现对 ASPT 相的受控分类。

提出的方法

• 通过 disorder 实现的平均中对称性保持的无序系综，引入平均 SPT 相的概念，定义一类新的拓扑相。
• 应用装饰域壁方法对 ASPT 相进行分类，其中平均对称性的域壁被低维拓扑态所装饰。
• 使用复制场论计算拓扑响应，并推导装饰域壁构造在平均对称性下的相容性条件。
• 证明：若装饰的域壁维度大于 (0+1)d，则在热力学极限下，ASPT 态的边界几乎必然为长程纠缠，概率趋于 1。
• 将形式化推广至本身为短程纠缠的量子 disorder，利用量子通道和密度矩阵定义广义平均 SPT。
• 建立平均异常与晶格系统约束之间的联系，类似于 LSM 定理，但适用于仅在平均意义下保持的晶格对称性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在无序量子多体体系中，拓扑序能否由仅在平均意义下保持的对称性保护，而非精确对称性？
• RQ2 t’Hooft 异常的概念如何推广至平均对称性？其对边界物理有何影响？
• RQ3 当仅存在平均晶格对称性时，Lieb-Schultz-Mattis 类型的约束在多大程度上仍然成立？
• RQ4 能否在平均对称性下使用装饰域壁构造实现对平均 SPT 相的一致分类？
• RQ5 量子通道和密度矩阵如何在开放量子体系中实现广义平均 SPT 相的表述？

主要发现

• 对于局部对称性被破坏但通过对 disorder 实现平均后恢复的无序系综，平均 SPT 相是明确定义的，将 SPT 有序的概念扩展至精确对称性保护之外。
• 当域壁构造中装饰的域壁维度大于 (0+1)d 时，在热力学极限下，平均 SPT 态的边界几乎必然为长程纠缠，概率趋于 1。
• 本文引入了“平均异常”的概念——即 t’Hooft 异常在平均对称性下的推广——为非平凡边界态的存在提供了体相约束。
• 平均异常导致对晶格系统的约束，类似于 Lieb-Schultz-Mattis 定理，但即使仅在平均意义下保持晶格对称性也适用。
• 利用密度矩阵和量子通道发展了广义平均 SPT 理论，可描述具有短程纠缠量子 disorder 的相。
• 该框架表明，在平均对称性下的拓扑量子现象可与精确对称性下的现象一样丰富，可能涌现出在纯净极限下不存在的新相。