[论文解读] Short-range entanglement and invertible field theories

Daniel S. Freed|arXiv (Cornell University)|Jun 27, 2014

Topological Materials and Phenomena参考文献 55被引用 62

一句话总结

本文利用稳定同伦理论导出的可逆场论，提出了一种短程纠缠（SRE）相在凝聚态系统中的拓扑不变量。通过将长程有效场论建模为完全展开的可逆拓扑量子场论，作者通过谱之间的映射对SRE相进行分类，其得到的不变量比群上同调更精细，并成功检测到Kitaev的E8相以及时间反演对称的三维玻色子SRE相。

ABSTRACT

Quantum field theories with an energy gap can be approximated at long-range by topological quantum field theories. The same should be true for suitable condensed matter systems. For those with short range entanglement (SRE) the effective topological theory is invertible, and so amenable to study via stable homotopy theory. This leads to concrete topological invariants of gapped SRE phases which are finer than existing invariants. Computations in examples demonstrate their effectiveness.

研究动机与目标

• 开发超越群上同调的短程纠缠（SRE）相的精细拓扑不变量。
• 建立SRE相与通过稳定同伦理论联系的可逆拓扑场论之间的框架。
• 通过已知SRE相的显式计算，证明这些不变量的有效性。
• 探讨全局对称性、时间反演以及引力耦合在SRE相分类中的作用。
• 调和微观SRE分类与长程拓扑场论描述之间的关系。

提出的方法

• 将定域能隙系统的长程行为建模为完全展开的可逆拓扑场论。
• 利用cobordism假设，将此类场论等价于代数拓扑中谱之间的映射。
• 使用Madsen-Tillmann谱对具有各种全局对称性的场论进行分类，包括费米子和时间反演对称性。
• 通过谱的同伦群构建不变量，特别针对玻色子和费米子SRE相。
• 应用Atiyah-Hirzebruch谱序列计算如ℝℙ∞等分类空间的上同调群。
• 将场论不变量与已知不变量（如群（超）上同调和手性中心荷）联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 可逆场论能否提供比群上同调更精细的SRE相分类？
• RQ2 引力与规范异常在通过拓扑场论对SRE相进行分类时如何体现？
• RQ3 时间反演和反线性对称性在SRE相的拓扑不变量中起什么作用？
• RQ4 这些不变量能否检测到E8相及其他奇异SRE相？
• RQ5 是否存在不能由微观系统实现的有效场论，以及如何诊断这一点？

主要发现

• 该论文成功利用所提出的可逆场论不变量检测到Kitaev的E8相，证实了其有效性。
• 该不变量正确捕捉了2+1维玻色子SRE相中的手性中心荷，包括E8相。
• 对于具有时间反演对称性的3+1维玻色子SRE相，该不变量检测到了半量子化的热霍尔效应，与已知物理一致。
• 上同调群 $ A^{{\tilde{\rho}}_{A}}(\mathbb{R}\mathbb{P}^\infty) $ 被计算为 $ (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^2 $，支持了分类框架。
• 从 $ B^{{\tilde{\rho}}_{B}}(\mathbb{R}\mathbb{P}^\infty) \to A^{{\tilde{\rho}}_{A}}(\mathbb{R}\mathbb{P}^\infty) $ 的映射是满射，证实了谱序列计算的一致性。
• 该理论预测了额外的“四次方根”相，提示某些有效场论可能无法由微观模型实现。