[논문 리뷰] Averaging principle for one dimensional stochastic Burgers equation

Zhao Dong, Xingyuan Sun외 2명|arXiv (Cornell University)|2017. 01. 20.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 19인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 다중 소음에 의해 구동되는 시간-스케일이 분리된 1차원 스토케스 버거스 방정식에 대한 평균화 원리를 수립한다. 적절한 조건 하에서, 느린 성분이 평균화된 방정식의 해로 강수렴함을 증명하며, 느린 성분이 비확률적일 경우, 임의의 $0<r<1$에 대해 약수렴 속도 $1-r$를 보인다.

ABSTRACT

In this paper, we consider the averaging principle for one dimensional stochastic Burgers equation with slow and fast time-scales. Under some suitable conditions, we show that the slow component strongly converges to the solution of the corresponding averaged equation. Meanwhile, when there is no noise in the slow component equation, we also prove that the slow component weakly converges to the solution of the corresponding averaged equation with the order of convergence $1-r$, for any $0

연구 동기 및 목표

• 시간-스케일이 분리된 느린 성분과 빠른 성분을 포함한 1차원 스토케스 버거스 방정식에 대한 평균화 원리를 수립하기.
• 시간-스케일 분리 매개수 $\varepsilon \to 0$ 일 때 느린 성분의 점근적 행동을 분석하기.
• 정규성과 모멘트 조건 하에서 느린 성분이 평균화된 방정식의 해로 강수렴함을 증명하기.
• 느린 성분이 비확률적일 경우 약수렴 영역으로 평균화 원리를 확장하며, 임의의 $0<r<1$에 대해 명시적인 수렴 속도 $1-r$를 제공하기.

제안 방법

• 공간-시간 백색소음에 의해 구동되는 느린 성분 $X^\varepsilon$와 빠른 성분 $Y^\varepsilon$를 포함하는 스토케스 방정식 시스템을 수립한다.
• 빠른 성분의 불변 측도의 존재성과 정규성을 보장하기 위해 비선형성 $f$와 $g$에 조건을 부과한다.
• 카스민스키 유형의 평균화 프레임워크를 사용하여 느린 성분의 효과적 평균화 방정식을 유도한다.
• 사전 모멘트 추정과 지수 모멘트 경계를 사용하여 소볼레프 노름에서 해의 성장률을 제어한다.
• 특이성을 해소하기 위해 정지시간 $\rho(\varepsilon)$를 활용한 시간 정규화 기법을 적용한다.
• 특이 커널을 가진 그론월라 유형 부등식을 사용하여 $X^\varepsilon$와 평균화된 해 $\bar{X}$ 사이의 오차를 제어한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 시간-스케일이 분리된 스토케스 버거스 방정식의 느린 성분이 어떤 조건에서 평균화된 방정식의 해로 수렴하는가?
• RQ2 느린 성분이 비확률적이고 노이즈가 빠른 성분에만 존재할 경우, 약수렴 속도는 무엇인가?
• RQ3 빠른 성분의 모멘트 추정과 정규성은 유한차원 스토케스 PDE에서의 평균화 행동에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 비선형성의 제곱형 비선형성을 가진 스토케스 방정식과 같은 비선형 SPDE에 대해 평균화 원리를 확장할 수 있는가?
• RQ5 소볼레프 정규성과 지수 모멘트 경계는 이러한 시스템의 수렴성을 증명하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 시간 $\varepsilon \to 0$ 일 때 느린 성분 $X^\varepsilon$는 평균화된 스토케스 버거스 방정식의 해 $\bar{X}$로 강수렴한다.
• 느린 성분이 비확률적일 경우, 적절한 모멘트 및 정규성 조건 하에서 약수렴 속도는 임의의 $0<r<1$에 대해 $1-r$이다.
• 증명은 지수 모멘트 경계와 $\rho(\varepsilon)$를 활용한 시간 정규화 기법에 기반하여 평균화 근사의 오차를 제어한다.
• 느린 성분과 빠른 성분 양쪽에 대해 $\theta \in (1, \frac{3}{2})$인 소볼레프 노름 $H^\theta$에서의 모멘트 추정이 확립된다.
• 오차는 컴팩트 구간 $[0,T]$ 에서 시간에 대해 균일하게 유계이며, $C\varepsilon t^{-\theta + \theta^2/(1+\delta)} - C\varepsilon \log \varepsilon$로 유계이다.
• 결과는 고전적 평균화 원리를 제곱형 비선형성과 다중 소음을 갖는 비선형 SPDE의 클래스로 확장한다.