[논문 리뷰] Averaging Principles for Mixed Fast-Slow Systems Driven by Fractional Brownian Motion

Bin Pei, Yuzuru Inahama외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 01. 20.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 32인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 분수 Brown 운동(fBm)과 표준 Brown 운동(Bm)에 의해 구동되는 혼합 빠른-느린 시스템에 대해 평균화 원리를 수립한다. fBm에 대해서는 일반화된 Riemann-Stieltjes 적분을, Bm에 대해서는 Itô 적분을 사용한다. 시스템의 느린 성분이 빠른 과정의 불변 측도에 대해 평균화된 계수를 가진 fBm에 의해 구동되는 한계 SDE로 평균 제곱수렴을 보이며, 이는 모델 단순화와 계산 복잡도 감소를 가능하게 한다.

ABSTRACT

We focus on fast-slow systems involving both fractional Brownian motion (fBm) and standard Brownian motion (Bm). The integral with respect to Bm is the standard Ito integral, and the integral with respect to fBm is the generalised Riemann-Stieltjes integral using the tools of fractional calculus. An averaging principle in which the fast-varying diffusion process of the fast-slow systems acts as a noise to be averaged out in the limit is established. It is shown that the slow process has a limit in the mean square sense, which is characterized by the solution of stochastic differential equations driven by fBm whose coefficients are averaged with respect to the stationary measure of the fast-varying diffusion. The implication is that one can ignore the complex original systems and concentrate on the averaged systems instead. This averaging principle paves the way for reduction of computational complexity.

연구 동기 및 목표

• 빠른-느린 역학과 혼합된 분수 및 표준 Brown 운동 노이즈를 갖는 확률적 시스템에 대해 평균화 원리를 개발하는 것.
• H ≠ 1/2일 때 semimartingale가 아닌 fBm에 대한 확률적 미적분학의 과제를 Zähle의 분수 미적분학 접근법을 통해 해결하는 것.
• 빠른 성분의 불변 측도에 대해 평균화된 계수를 갖는 fBm에 의해 구동되는 SDE로 느린 성분의 극한을 특성화하는 것.
• 빠른 변화하는 성분을 그 평균 효과로 대체함으로써 복잡한 혼합 시스템을 단순화하는 데에 대한 엄밀한 수학적 기초를 제공하는 것.
• 기존 시스템을 더 단순한 평균화된 시스템으로 대체함으로써 모델링의 계산 복잡도를 감소시키는 것.

제안 방법

• 시스템은 느린 성분 Xε가 fBm에 의해 구동되고 빠른 성분 Yε가 표준 Brown 운동에 의해 구동되는 결합된 SDE로 모델링되며, ε → 0은 시간 스케일 분리를 나타낸다.
• fBm에 대한 확률적 적분은 Zähle의 의미에서 일반화된 Riemann-Stieltjes 적분을 통해 해석되며, H > 1/2에 대해 미적분학을 가능하게 한다.
• 빠른 과정 Yε는 각 고정된 x에 대해 유일한 불변 측도를 갖는 것으로 가정하며, 평균화된 비율 계수는 이 불변 측도에 대해 b1의 기대값으로 정의된다.
• 빠른 과정의 상관관계 감쇠 추정과 계수의 Hölder 연속성에 기반하여, 느린 성분의 수렴을 평균 제곱수렴으로 증명한다.
• 핵심 기술적 단계로는 빠른 과정의 공분산 구조를 마코프 성질과 지수 혼합성에 의해 유 bounds 하여 시간 상관관계의 지수 감쇠를 이끌어낸다.
• 증명은 계수의 충분한 정규성과 선형 성장을 보장하는 조건 (H1)과 (H2)에 의존하며, 오차를 제어하기 위해 Malliavin 미적분학과 모멘트 추정을 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 분수 Brown 운동(fBm)과 표준 Brown 운동(Bm)에 의해 구동되는 혼합 빠른-느린 시스템에 대해 평균화 원리를 수립할 수 있는가?
• RQ2 비-semimartingale인 fBm의 존재가 표준 확산에 의해 구동되는 시스템과 비교해 평균화 극한에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 느린 성분이 fBm에 의해 구동되고 계수들이 빠른 성분의 불변 측도에 대해 평균화된 SDE로 수렴하기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ4 일반화된 Riemann-Stieltjes 적분이 평균화 원리의 맥락에서 fBm에 대한 확률적 적분을 어떻게 정의하는가?
• RQ5 빠른 과정의 불변 측도가 느린 성분의 극한 행동을 특성화하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 느린 성분 Xε는 빠른 과정의 불변 측도에 대해 평균화된 계수를 갖는 fBm에 의해 구동되는 SDE를 만족하는 한계 과정 X̄로 평균 제곱수렴을 한다.
• 한계 SDE의 비율 및 확산 계수는 빠른 성분 Yx의 불변 측도에 대해 원래의 b1과 σ1의 기대값이므로 평균화된 역학이 잘 정의됨을 보장한다.
• 수렴 속도는 빠른 과정의 상관관계 감쇠에 기반한 O(ε^{β}) 형식의 오차 한계로 정량화되며, β > 0이다.
• 빠른 과정의 상관관계 구조가 지수적으로 감쇠됨이 입증되었으며, 감쇠 속도는 빠른 확산의 생성자에 대한 스펙트럼 간격에 따라 달라지며 혼합성을 보장한다.
• 증명은 평균화된 시스템이 원래 시스템의 장기적 행동을 잘 캐릭터라이즈함을 보여주며, 모델 단순화를 정당화한다.
• 결과는 계수의 Hölder 연속성, 리프시츠 조건, 선형 성장을 보장하는 조건 (H1)과 (H2) 하에서 성립하며, 해의 존재성과 유일성을 보장한다.