[논문 리뷰] Axioms of adaptivity for separate marking

Carsten Carstensen, Hella Rabus|arXiv (Cornell University)|2016. 06. 07.

Manufacturing Process and Optimization참고 문헌 15인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 잔차 오차 추정자 또는 자료 근사 오차에 따라 지배가 되는지에 따라 분리 마킹을 사용하는 적응형 유한요소법에 대한 추상적 공리계를 수립한다. 혼합 및 최소제곱 유한요소법에서 최적 수렴 속도를 증명하기 위해 이전 프레임워크를 일반화하고, 표준 추정자 감소 성질이 없는 경우에도 최적 적응성을 보장하는 새로운 공리들을 도입한다.

ABSTRACT

Mixed finite element methods with flux errors in $H(div)$-norms and div-least-squares finite element methods require a separate marking strategy in obligatory adaptive mesh-refining. The refinement indicator $σ^2(\mathcal T,K)=η^2(\mathcal T,K)+μ^2(K)$ of a finite element domain $K$ in an admissible triangulation $\mathcal T$ consists of some residual-based error estimator $η(\mathcal T,K)$ with some reduction property under local mesh-refining and some data approximation error $μ(K)$. Separate marking means either Dörfler marking if $μ^2(\mathcal T) \leq κη^2(\mathcal T)$ or otherwise an optimal data approximation algorithm runs with controlled accuracy as established in [Carstensen, Rabus, Math.Comp. 2011; Rabus, J.Numer.Math. 2015]. The axioms are abstract and sufficient conditions on the estimators $η(\mathcal T,K)$ and data approximation errors $μ(K)$ for optimal asymptotic convergence rates. The enfolded set of axioms simplifies \cite{CFP14} for collective marking, treats separate marking established for the first time in an abstract framework, generalizes [Carstensen, Park, SIAM J.Numer.Anal. 2015] for least-squares schemes, and extends [Carstensen, Rabus, Math.Comp. 2011] to the mixed FEM with flux error control in $H(div)$.

연구 동기 및 목표

• 분리 마킹을 사용하는 적응형 유한요소법을 위한 일반적인 추상적 프레임워크를 개발하여, 근사가 잔차 오차 또는 자료 근사 오차에 의해 지배되는지에 따라 메쉬를 세분화하는 것을 목표로 한다.
• H(\operatorname{div})-노름 유량 오차와 자료 근사 항을 포함하는 문제에서 최적 수렴 속도를 보장하기 위한 충분한 공리들을 규명하는 것.
• 집합 마킹에 대한 기존 수렴 이론을 분리 마킹으로 일반화하여, 특히 혼합 및 최소제곱 유한요소법에 적용하는 것.
• 표준 추정자 감소 성질이 실패하는 문제에서 최적 수렴을 보장하는 기초를 마련하는 것, 그러나 준단조성(quasimonotonicity)은 성립하는 경우.

제안 방법

• 두 경우로 나누어진 적응 알고리즘을 제안한다: (A) 경우는 잔차 오차 추정자 $ \eta $ 에 대해 D"{o}rfler 마킹을 적용하고, (B) 경우는 임계값 $ \kappa $ 기반으로 자료 오차 $ \mu $ 에 대해 최적의 자료 근사 알고리즘을 적용한다.
• 잔차 오차 추정자 $ \eta $ 를 위한 추상 공리 (A1)–(A4) 를 제안하며, [CFPP14]의 결과를 일반화하고, 자료 근사 오차 $ \mu $ 를 위한 공리 (B1)–(B2) 를 제안하며, 준단조성(QM)을 포함한다.
• 메쉬 세분화 지표 $ \sigma^2(\mathcal{T},K) = \eta^2(\mathcal{T},K) + \mu^2(K) $ 를 정의하고, $ \mu^2(\mathcal{T}) \leq \kappa \eta^2(\mathcal{T}) $ 여부에 따라 별도의 마킹을 적용한다.
• 메쉬 크기와 오차 감소에 대한 제약 조건을 만족시키는 $ \texttt{appx}(\text{Tol}, \mu(K)) $ 서브루틴을 사용하여 제어 가능한 자료 근사 오차를 확보한다.
• 이 프레임워크를 두 가지 모델 문제에 적용한다: H(\operatorname{div})-노름 유량 오차를 포함하는 혼합 유한요소법과 최소제곱 유한요소법.
• 최소제곱 FEM에 대한 이산 형태의 신뢰성 추정식 (A3) 을 검증함으로써, 두 예제에서 공리들을 확인하고 최적 수렴 속도를 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 분리 마킹을 사용하는 적응형 유한요소법에 대해, 잔차 오차 또는 자료 근사 오차에 의해 지배되는 경우에 지배되는 일반적인 추상적 프레임워크를 개발할 수 있는가?
• RQ2 잔차 오차와 자료 근사 오차를 분리하는 적응 알고리즘에서 최적 수렴 속도를 보장하기 위해 필요한 추상적 공리들은 무엇인가?
• RQ3 표준 추정자 감소 성질이 실패하는 경우에도, H(\operatorname{div})-노름 유량 오차 제어를 포함하는 혼합 유한요소법에서 최적 수렴을 달성할 수 있는가?
• RQ4 표준 감소 성질을 만족하지 않지만 준단조성이 성립하는 자료 근사 항을 포함하는 프레임워크는 어떻게 다룰 수 있는가?
• RQ5 이 공리들은 집합 마킹과 최소제곱 FEM에 대한 기존 결과를 어느 정도 일반화하는가?

주요 결과

• 이 논문은 분리 마킹을 사용하는 SAFEM 알고리즘의 최적 수렴 속도를 제안된 공리 (A1)–(A4) 와 (B1)–(B2) 에 기반하여 증명한다. 이는 준단조성(QM)을 포함한다.
• 최소제곱 유한요소법에서는 오차 추정자 $ \eta $ 와 자료 오차 $ \mu $ 가 모두 공리를 만족하며, 특히 (A3) 는 이산 형태로 성립하여 최적 수렴을 보장한다.
• 자료 근사 서브루틴 $ \texttt{appx} $ 는 D"{o}rfler 마킹 또는 [BDdV04] 의 알고리즘을 통해 실현 가능하며, $ \mu $ 가 표준 감소 성질을 갖지 않더라도 최적 오차 제어를 가능하게 한다.
• 이 프레임워크는 [CFPP14] 와 [CR11] 의 결과를 일반화하며, H(\operatorname{div})-노름 제어를 포함하는 혼합 FEM 과 최소제곱 FEM 으로 확장한다.
• 공리들은 비선형 근사 클래스나 효율성 추정식에 의존하지 않아도 되므로 분석을 단순화한다.
• 분석 결과, 최소제곱 FEM 의 $ H(\operatorname{div}) \times H^1 $ 노름에서의 최적 수렴 속도는 비선형 근사 클래스에서의 최적 수렴 속도와 동치임을 확인한다.