[논문 리뷰] Barriers in Nonlinear Control Systems with Mixed Constraints

Willem Esterhuizen, Jean Lévine|arXiv (Cornell University)|2015. 08. 07.

Optimization and Variational Analysis인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 비선형 제어 시스템의 장벽 개념을 상태와 제어 모두에 의존하는 혼합 상태-입력 제약 조건으로 확장한다. 이는 카루시-쿤-터커 곱수와 일반화된 기울기 조건을 포함하는 최소화 원리에 기반한 장벽의 구성이 가능하다는 것을 증명함으로써 이루어진다. 주요 기여는 혼합 제약 조건 하에서 장벽 구성에 대한 수정된 최소화 원리로, 비연속적인 설정에서 이중성 기반 최대 원리와 변형 원뿔 분석을 통해 검증된다.

ABSTRACT

In this paper, we propose an extension to mixed multidimensional constraints of the problem of state and input constrained control introduced in DeDona and Lévine, SIAM J. Control and Optimiz., Vol. 51, 2013, where the admissible set, namely the subset of the state space where the state and input constraints can be satisfied for all times, was studied, with focus on its boundary. The latter may be divided in two parts, one of them being called barrier, a semipermeable surface. We extend this notion of barrier to the mixed case and prove that it can be constructed via a minimum-like principle involving the Karush-Kühn-Tucker multipliers associated to the constraints and a generalised gradient condition at its endpoints.

연구 동기 및 목표

• 순수한 상태 제약과 입력 제약에서의 장벽 표면 개념을 상태 및 제어 변수 모두를 포함하는 혼합 제약 조건으로 확장하는 것.
• 특히 장벽의 반투과성과 허용 가능한 영역의 경계를 정의하는 데서의 역할을 포함하여, 혼합 제약 조건 하에서 장벽의 기하학적 및 분석적 성질을 규명하는 것.
• 측정 가능한 제어와 비연속적인 동역학으로 인한 불연속성도 고려한 혼합 제약 조건 하에서 장벽을 구성하기 위한 최소화 유사 원리 도출.
• 침습 변형과 변형 원뿔 구성 방법을 사용하여 [7]의 최대 원리를 혼합 제약 조건의 경우로 일반화하는 것.

제안 방법

• 혼합 제약 조건을 갖는 제어 시스템을 미분 방정식과 측정 가능한 제어를 통해 기술하여, 약속 함수 $ g_i(x(t), u(t)) \leq 0 $ 가 거의 모든 곳에서 성립하도록 보장한다.
• 측정 가능한 제어로 인한 약속 진화의 불연속성 처리를 위해 비연속 해석 도구를 적용하며, 특히 장벽 끝점에서의 일반화된 기울기 조건을 다룬다.
• 직관적인 $ g_i(x,u) = 0 $ 를 대체하여 장벽의 시작 지점을 정의하기 위해 수정된 종점 조건 $ \tilde{g}(x) = \min_{u \in U} \max_i g_i(x,u) = 0 $ 을 도입한다.
• 침습 변형을 사용하여 탄성 원뿔을 구성하고, 변분 방정식과 KKT 조건을 통해 양안 벡터 $ \eta^{\bar{u}} $ 와 곱수 벡터 $ \mu^{\bar{u}} $ 를 유도한다.
• 이중성 논증을 통해 장벽이 끝점에서 도달 가능한 집합 경계에 수직임을 보이며, 양안 벡터가 분리 초평면의 법선으로 기능함을 밝힌다.
• 가능한 침습 변형을 구성하여 제약 조건을 만족시키며, [16]의 최대 원리를 혼합 제약 조건에 맞게 수정함으로써 이중화 허밀토니안에 대한 극값 조건을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 순수한 상태 제약과 입력 제약에서의 장벽 개념을 상태 및 제어 변수 모두를 포함하는 혼합 제약 조건으로 일반화할 수 있는가?
• RQ2 혼합 제약 조건의 경우 장벽의 종점은 어떻게 특성화될 수 있으며, 순수 제약 조건의 경우와 어떻게 다를까?
• RQ3 혼합 제약 조건 하에서도 최소화 유사 원리가 여전히 장벽 구성에 사용될 수 있는가? 만약 가능하면 상태와 제어의 동시 의존성에 대응하기 위해 어떻게 수정되어야 하는가?
• RQ4 침습 원뿔이 제약 조건의 구조를 존중하도록 하기 위해 최대 원리는 혼합 제약 조건 설정에 어떻게 적응시킬 수 있는가?
• RQ5 카루시-쿤-터커 곱수와 일반화된 기울기는 장벽의 기하학적 구조와 구성 과정에서 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 혼합 제약 조건의 경우 장벽은 조건 $ \tilde{g}(x) = \min_{u \in U} \max_i g_i(x,u) = 0 $ 와 함께 끝점에서 추가적인 일반화된 기울기 조건을 만족하며, 직관적인 $ g_i(x,u) = 0 $ 에 의해 대체된다.
• 장벽는 반투과성 조건을 만족한다: 허용 가능한 영역 내부에서 출발한 궤적은 허용 불가 영역으로 진입할 수 없으며, 외부에서 출발한 궤적은 허용 가능한 영역으로 진입할 수 없다.
• 최소화 유사 원리가 장벽 구성에 적용되며, 이는 KKT 곱수와 약속 함수의 일반화된 기울기를 포함하는 기능을 최소화하는 방식이다.
• 혼합 제약 조건의 최대 원리는 이중성 논증을 통해 확립되며, 양안 벡터 $ \eta^{\bar{u}} $ 와 곱수 벡터 $ \mu^{\bar{u}} $ 는 거의 모든 곳에서 허밀토니안 최대화 조건을 만족한다.
• 침습 변형을 사용하여 혼합 제약 조건의 구조를 존중하는 변형 원뿔을 구성하였으며, 이는 양안 벡터에 수직인 초평면을 통해 도달 가능한 상태와 도달 불가 상태를 분리하는 데 기여한다.
• 이중화 허밀토니안 $ \mathcal{H}(x,u,\eta,\mu) = \eta^T f(x,u) + \sum_i \mu_i g_i(x,u) $ 는 극값 궤적을 따라 거의 모든 곳에서 일정하며, 장벽의 최적성 구조를 확인한다.