[논문 리뷰] Basic structures of the covariant canonical formalism for fields based on the De Donder--Weyl theory

Igor V. Kanatchikov|ArXiv.org|1994. 10. 31.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 7인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 De Donder--Weyl 해밀토니안 체계를 사용하여 고전적 장 이론에 대한 공변적 캐논리컬 형식을 개발한다. 이를 통해 장 공간으로의 심플렉틱 기하학의 일반화를 위해 차수 $n+1$의 다중심플렉틱 형식을 도입한다. 외적 대수에 대해 계층적인 파울슨 괄목을 통해 게르스텐하버 대수의 구조를 수립하며, 운동 방정식은 DW 해밀토니안과의 괄목을 통해 표현된다. 이 괄목은 부피 형식을 통해 외적 미분과 연결된다.

ABSTRACT

We discuss a field theoretical extension of the basic structures of classical analytical mechanics within the framework of the De Donder--Weyl (DW) covariant Hamiltonian formulation. The analogue of the symplectic form is argued to be the {\em polysymplectic} form of degree $(n+1)$, where $n$ is the dimension of space-time, which defines a map between multivector fields or, more generally, graded derivation operators on exterior algebra, and forms of various degrees which play a role of dynamical variables. The Schouten-Nijenhuis bracket on multivector fields induces the graded analogue of the Poisson bracket on forms, which turns the exterior algebra of (horizontal) forms to a Gerstenhaber algebra. The equations of motion are written in terms of the Poisson bracket on forms and it is argued that the bracket with $H\vol$, where $H$ is the DW Hamiltonian function and $\vol$ is the horizontal (i.e. space-time) volume form, is related to the operation of exterior differentiation of forms.

연구 동기 및 목표

• 고전적 역학의 캐논리컬 형식을 시공간 공변성을 명시적으로 유지하면서 장 이론으로 확장하기.
• 시공간 공변성을 갖는 고전적 장 이론에 대해 기하학적으로 일관된 해밀토니안 형식이 부족한 문제를 해결하기.
• 다중심플렉틱 구조를 역학의 심플렉틱 형식에 대한 장이론적 대응으로 도입하기.
• 외적 대수 위에 계층적인 파울슨 괄목을 정의하여 외적 대수에 게르스텐하버 대수의 구조를 부여하기.
• De Donder--Weyl 해밀토니안 함수와의 파울슨 괄목을 통해 장 방정식을 기술하고, 이를 외적 미분과 연결하기.

제안 방법

• 장 구성 공간의 저자기 다발 위에 차수 $n+1$의 다중심플렉틱 형식을 도입하여 역학의 심플렉틱 형식을 일반화하기.
• 다중벡터장과 외적 형식의 외적 대수 위의 계층적 미분 연산자를 동역학적 변수로 정의하기.
• 다중벡터장 위의 쇼우텐-니젠후이스 괄목을 이용하여 외적 형식 위에 계층적인 파울슨 괄목을 유도하기.
• De Donder--Weyl 해밀토니안 함수 $H$를 구성하고, 수평 부피 형식 $\vol$과 결합하여 진동 연산자를 정의하기.
• 운동 방정식을 $ \{ \alpha, H\vol \} = d\alpha $ 형태로 표현하여 파울슨 괄목과 외적 미분을 연결하기.
• 계층적인 파울슨 괄목을 갖춘 형식의 공간이 게르스텐하버 대수의 구조를 이룬다는 것을 증명하며, 이는 역학의 파울슨 대수의 일반화이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 시공간 공변성을 유지하면서 고전적 역학의 캐논리컬 형식을 장 이론으로 일반화할 수 있는가?
• RQ2 해밀토니안 역학에서 심플렉틱 형식에 대한 적절한 장이론적 대응은 무엇인가?
• RQ3 다중벡터장 위의 쇼우텐-니젠후이스 괄목이 장 이론에서 외적 형식 위에 일관된 파울슨 괄목의 구조를 어떻게 유도하는가?
• RQ4 운동 방정식은 De Donder--Weyl 해밀토니안과 관련된 괄목 연산을 통해 어떻게 표현되는가?
• RQ5 공변적 장 이론 형식에서 외적 형식 위의 파울슨 괄목과 외적 미분 사이의 기하학적 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 차수 $n+1$의 다중심플렉틱 형식은 공변적 캐논리컬 장 이론의 기본 기하학적 구조로 기능한다.
• 수평 형식의 외적 대수는 쇼우텐-니젠후이스 괄목을 통해 유도된 계층적인 파울슨 괄목을 통해 게르스텐하버 대수의 구조를 갖춘다.
• 운동 방정식은 $ \{ \alpha, H\vol \} = d\alpha $ 형태로 기술되며, 여기서 $ \alpha $는 형식이고 $ d\alpha $는 그의 외적 미분이다.
• $ H\vol $과의 파울슨 괄목 연산이 형식 위의 외적 미분에 해당함을 보였다.
• 이 형식은 기하학적 기초가 일관된 고전적 장 이론에 대해 해밀토니안 역학의 명시적 공변적 일반화를 제공한다.
• 이 프레임워크는 진동 연산자를 시간 진동과 공간 변화를 모두 포함하는 괄목 연산으로 식별함으로써 역학과 기하학의 역할을 통합한다.