[논문 리뷰] Basic theory of a class of linear functional differential equations with multiplication delay

Cheng-shi Liu|arXiv (Cornell University)|2016. 05. 22.

Nonlinear Differential Equations Analysis참고 문헌 12인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 곱셈 지연을 가진 선형 팬토그라프 미분방정식의 초기값 문제를 명시적으로 해결하기 위해 지수 함수 유사,余弦 함수 유사, 사인 함수 유사 함수라는 새로운 특수함수를 도입한다. 일반적인 점에서 해의 존재성, 유일성, 비유일성 조건을 설정하고, 이러한 함수 기반의 급수 전개와 직교화 기법을 통해 형식적 해를 제시한다.

ABSTRACT

By introducing a kind of special functions namely exponent-like function, cosine-like function and sine-like function, we obtain explicitly the basic structures of solutions of initial value problem at the original point for this kind of linear pantograph equations. In particular, we get the complete results on the existence, uniqueness and non-uniqueness of the initial value problems at a general point for the kind of linear pantograph equations.

연구 동기 및 목표

• 곱셈 지연을 가진 선형 함수미분방정식, 특히 팬토그라프 방정식에 대해 명시적 해 구조가 부족한 문제를 해결하기 위해.
• 표준 방법(예: 매개수 변화, 라플라스 변환)이 이러한 방정식에 실패하는 기본적인 과제를 해결하기 위해.
• 일반적인 초기점에서 초기값 문제의 존재성 및 유일성 행동을 명확히 하여, 일반적인 미분방정식과 다를 수 있는 특성을 밝혀내기 위해.
• 해를 명시적으로 표현하기 위해 새로운 특수함수를 사용하는 체계적인 프레임워크를 개발하기 위해.
• 경계값 문제 및 팬토그라프 유형 지연을 가진 편미분방정식으로 이론을 확장하기 위해.

제안 방법

• 무한 급수 전개를 통해 정의된 세 가지 새로운 특수함수인 지수 함수 유사, 여측 함수 유사, 사인 함수 유사 함수를 도입하여 선형 팬토그라프 방정식의 해를 모델링한다.
• 시간 및 공간에 의존하는 팬토그라프 편미분방정식을 일반 함수미분방정식으로 줄이기 위해 변수분리법을 적용한다.
• 비직교인 사인 함수 유사 함수 시스템 $ S_eta( ho_n x) $ 를 직교화하기 위해 그람-슈미트 과정을 적용하여 급수 전개에서 계수를 계산할 수 있도록 한다.
• 직교화된 기저 함수를 사용하여 유한 및 무한 영역에서 열 유사 및 파동 유사 팬토그라프 방정식에 대한 형식적 해를 유도한다.
• 해를 초기 자료에 대해 일반화된 푸리에 유사 전개를 통해 표현하기 위해 $ E_eta $, $ C_eta $, $ S_eta $ 함수를 포함하는 적분 표현을 활용한다.
• 지수 함수 유사 함수 $ E_eta $ 를 사용하여 형식적 푸리에 유사 및 라플라스 유사 변환을 제안하지만, 그 역변환은 아직 알려져 있지 않다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 초기점이 원점이 아닌 경우, 선형 팬토그라프 방정식의 초기값 문제가 어떤 조건에서 유일한 해를 갖는가?
• RQ2 곱셈 지연을 가진 선형 팬토그라프 방정식의 해는 초월함수나 하이퍼기하함수 이외의 특수함수로 표현될 수 있는가?
• RQ3 기저 함수가 직교가 아닐 경우, 해의 급수 전개에서 계수를 체계적으로 계산하는 방법은 무엇인가?
• RQ4 비국소 지연을 가진 열 유사 및 파동 유사 팬토그라프 방정식의 해의 구조는 어떠한가?
• RQ5 새로운 특수함수를 사용하여 일반화된 적분 변환을 정의할 수 있으며, 그 역성질은 어떠한가?

주요 결과

• 초기값 문제 $ y'(x) = y(eta x) $, $ y(0) = 1 $ 의 해는 해석적이고 수렴하는 급수 전개를 갖는 지수 함수 유사 함수 $ E_eta(x) $ 로 주어진다.
• 방정식 $ X''(x) = \beta X(\beta^2 x) $ 에서 $ X(0) = X(1) = 0 $ 인 경우, 고유값은 $ \beta_n = -\beta \rho_n^2 $ 이며, 고유함수는 $ X_n(x) = S_\beta(\rho_n x) $ 로 주어지며, 여기서 $ \rho_n $ 는 초월방정식의 근이다.
• 곱셈 지연을 가진 열 유사 팬토그라프 방정식 $ u_t = u_{xx} $ 의 형식적 해는 $ u(x,t) = \bigsum_{n=1}^\frown A_n E_\beta(-\beta \rho_n^2 t) S_\beta(\rho_n x) $ 로 주어지며, 계수 $ A_n $ 은 그람-슈미트 직교화를 통해 계산된다.
• 구간 $ (0,1) $ 에서의 파동 유사 팬토그라프 방정식의 해는 $ C_\beta(-\rho_m t) $ 와 $ S_\beta(-\rho_m t) $ 의 초월합으로 표현되며, 계수는 직교화된 기저 함수를 사용해 초기 자료로부터 유도된다.
• 무한 구간에서는 $ S_\beta $ 와 $ C_\beta $ 함수를 포함하는 이重적분을 통해 해가 주어지며, 계수는 일반화된 적분방정식에 의해 결정된다.
• 논문은 형식적 푸리에 유사 및 라플라스 유사 변환은 $ E_\beta $ 를 사용해 정의될 수 있지만, 그 역변환은 아직 알려져 있지 않음을 밝혀낸다.