[논문 리뷰] Beating the Harmonic lower bound for online bin packing

Sandy Heydrich, Rob van Stee|arXiv (Cornell University)|2015. 11. 03.

Optimization and Packing Problems참고 문헌 14인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 슈퍼 하모닉 프레임워크 내에서 오랫동안 유지되어 온 1.58333의 하한선을 뛰어넘어, 점근적 경쟁률 1.5813을 달성하는 새로운 온라인 백팩 알고리즘을 제시한다. 이 방법은 중간 크기의 항목에 대해 정확한 크기 기반 결정을 도입하고, 선형 프로그래밍에서 표시된 항목 제약 조건을 사용하여 최적 해의 하한을 강화함으로써, 이전 방법을 초월한 성능 향상을 가능하게 한다.

ABSTRACT

In the online bin packing problem, items of sizes in (0,1] arrive online to be packed into bins of size 1. The goal is to minimize the number of used bins. In this paper, we present an online bin packing algorithm with asymptotic competitive ratio of 1.5813. This is the first improvement in fifteen years and reduces the gap to the lower bound by 15%. Within the well-known SuperHarmonic framework, no competitive ratio below 1.58333 can be achieved. We make two crucial changes to that framework. First, some of our algorithm's decisions depend on exact sizes of items, instead of only their types. In particular, for each item with size in (1/3,1/2], we use its exact size to determine if it can be packed together with an item of size greater than 1/2. Second, we add constraints to the linear programs considered by Seiden, in order to better lower bound the optimal solution. These extra constraints are based on marks that we give to items based on how they are packed by our algorithm. We show that for each input, a single weighting function can be constructed to upper bound the competitive ratio on it. We use this idea to simplify the analysis of SuperHarmonic, and show that the algorithm Harmonic++ is in fact 1.58880-competitive (Seiden proved 1.58889), and that 1.5884 can be achieved within the SuperHarmonic framework. Finally, we give a lower bound of 1.5762 for our new framework.

연구 동기 및 목표

• 온라인 백팩에 대한 슈퍼 하모닉 프레임워크 내에서 1.58333의 경쟁률 장벽을 극복하기 위해.
• 기존 하모닉 하한선을 초월하여 온라인 백팩 알고리즘의 점근적 경쟁률을 향상시키기 위해.
• 정확한 항목 크기와 항목 표시를 사용하여 최적 해의 하한을 강화하는 프레임워크를 개발하기 위해.
• 기존 슈퍼 하모닉 알고리즘(예: 하모닉++)의 분석을 단순화하기 위해.
• 제안된 프레임워크에 대해 1.5762의 새로운 하한을 설정하기 위해.

제안 방법

• 슈퍼 하모닉 프레임워크의 유형 기반 결정을 넘어서, (1/3, 1/2] 크기 범위의 항목에 대해 정확한 크기 기반 패킹 결정을 도입한다.
• 패킹 행동에 기반해 항목에 표시를 할당하여, 최적 해의 하한을 유계로 만드는 데 사용되는 선형 프로그래밍에 더 강력한 제약 조건을 생성한다.
• 입력 하나당 하나의 가중치 함수를 사용하여 경쟁률의 상한을 정의함으로써, 다양한 입력 패턴 간의 분석을 단순화한다.
• 항목 표시와 정확한 크기를 기반으로 한 제약 조건을 추가하여 슈퍼 하모닉 프레임워크를 수정함으로써, 최적의 백팩 사용에 대한 하한을 향상시킨다.
• 빨간색 및 파란 색상의 서로 다른 유형을 가진 백팩 패턴에 집중하여, 여러 입력 패턴에 대한 케이스 분석을 수행하여 경쟁률을 유도한다.
• 표시된 제약 조건을 포함한 선형 프로그래밍을 적용하여, 알고리즘이 사용하는 공간에 비해 최적 해가 필요한 최소 공간을 계산한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 슈퍼 하모닉 프레임워크는 온라인 백팩에서 1.58333의 경쟁률 장벽을 초월할 수 있는가?
• RQ2 정확한 항목 크기는 형식 기반 패킹을 초월해 경쟁률을 얼마나 향상시킬 수 있는가?
• RQ3 항목 표시와 선형 프로그래밍 내 추가 제약 조건은 최적 해의 하한을 더 강력하게 만들 수 있는가?
• RQ4 통일된 가중치 함수를 사용하여 기존 슈퍼 하모닉 알고리즘의 분석을 단순화할 수 있는가?
• RQ5 정확한 크기와 표시 기반 결정을 사용하는 새로운 프레임워크 하에서 달성 가능한 최고의 경쟁률은 무엇인가?

주요 결과

• 제안된 알고리즘은 점근적 경쟁률 1.5813을 달성하여 이론적 하한선까지의 격차를 15% 감소시켰다.
• 이전에 슈퍼 하모닉 프레임워크 내에서 도달할 수 없다고 여겨졌던 1.58333 장벽을 뛰어넘었다.
• 분석 결과 하모닉++는 1.58880-경쟁률을 보이며, 세이든의 하한 1.58889를 초월한다.
• 정교화된 제약 조건을 사용하면 원래 슈퍼 하모닉 프레임워크 내에서 1.5884의 경쟁률을 달성할 수 있다.
• 새로운 프레임워크는 특정 매개변수 설정에서 최적의 하한 1.5762를 설정한다: 빨간색₁=0, 빨간색₂=0.1800, 빨간색₃=0.1276, 빨간색₄=0.1428.
• 빨간색패턴₄=3인 경우, 하한은 100/63 ≈ 1.5873에 도달하여, 다양한 설정에서도 프레임워크의 강건성을 확인한다.