[논문 리뷰] Bi-capacities -- Part I: definition, Möbius transform and interaction

Michel Grabisch, Christophe Labreuche|arXiv (Cornell University)|2007. 11. 14.

Multi-Criteria Decision Making참고 문헌 20인용 수 25

한 줄 요약

이 논문은 평가 척도가 음성, 양성 또는 중립성일 수 있는 이분법적 의사결정 환경을 위한 퍼지 측도의 일반화로 이중능력(bi-capacities)을 제안한다. 협동게임 이론을 활용하여 이중능력에 대한 Möbius 변환과 상호작용 지수를 수립함으로써, 누적선점이론(Cumulative Prospect Theory) 및 k-덧셈 구조와 같은 모델에서 의사결정자의 행동을 분석할 수 있다.

ABSTRACT

Bi-capacities arise as a natural generalization of capacities (or fuzzy measures) in a context of decision making where underlying scales are bipolar. They are able to capture a wide variety of decision behaviours, encompassing models such as Cumulative Prospect Theory (CPT). The aim of this paper in two parts is to present the machinery behind bi-capacities, and thus remains on a rather theoretical level, although some parts are firmly rooted in decision theory, notably cooperative game theory. The present first part is devoted to the introduction of bi-capacities and the structure on which they are defined. We define the Möbius transform of bi-capacities, by just applying the well known theory of M\" obius functions as established by Rota to the particular case of bi-capacities. Then, we introduce derivatives of bi-capacities, by analogy with what was done for pseudo-Boolean functions (another view of capacities and set functions), and this is the key point to introduce the Shapley value and the interaction index for bi-capacities. This is done in a cooperative game theoretic perspective. In summary, all familiar notions used for fuzzy measures are available in this more general framework.

연구 동기 및 목표

• 이중척도에서 평가가 음성에서 양성으로 변할 수 있는 의사결정 환경에서 이중능력을 능력의 일반화로 체계화하는 것.
• 퍼지 측도 이론의 핵심 도구인 Möbius 변환과 상호작용 지수를 이중능력 프레임워크로 확장하는 것.
• 누적선점이론의 범위를 넘어서는 의사결정 행동 분석을 위한 이론적 기반을 마련하는 것.
• 상호작용 지수와 Möbius 변환을 활용하여 k-덧셈형 및 CPT형 이중능력을 정의하고 특성화하는 것.
• 협동게임 이론적 배경에서 셰플리 유사값과 상호작용 지수를 통해 의사결정자의 선호를 해석할 수 있도록 하는 것.

제안 방법

• 이중능력을 집합함수 v: 2^N × 2^N → [-1,1]로 정의하여, 각 쌍 (S,T)가 완전히 만족된 기준과 완전히 만족하지 못한 기준을 나타내도록 한다.
• Rota의 Möbius 역행렬을 적용하여 이중능력의 Möbius 변환 m(S,T)을 유도함으로써 기본 성분으로의 분해를 가능하게 한다.
• Möbius 변환의 선형변환으로서 상호작용 지수 I^v(S,T)를 도입하여, 셰플리 값의 이중능력에 대한 일반화를 달성한다.
• 상호작용 지수를 활용하여 연합 (S,T) 이 전체 의사결정 결과에 기여하는 바를 분석하고, 이중계수의 포함관계를 반영한 닫힌 형태의 표현식을 도출한다.
• Möbius 변환과 상호작용 지수에 대한 조건을 유도하여 특수한 이중능력 유형인 k-덧셈형 및 CPT형을 특성화한다.
• 이중능력과 고전적 능력 간의 공식적 유사성을 수립하여, 특정 구조적 가정 하에 이중능력의 상호작용 지수가 고전적 지수로 축소됨을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 평가가 음성, 양성 또는 중립성일 수 있는 이분척도에서 퍼지 측도를 일반화하여 의사결정을 모델링할 수 있는가?
• RQ2 이중능력에 적합한 Möbius 변환은 무엇이며, 고전적 능력에 대한 Möbius 변환을 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ3 셰플리 값과 상호작용 지수는 어떻게 이중능력으로 확장되어 기준 연합의 기여도를 해석할 수 있는가?
• RQ4 Möbius 변환과 상호작용 지수의 관점에서 k-덧셈형 및 CPT형 이중능력의 구조적 성질은 무엇인가?
• RQ5 이중능력의 상호작용 지수는 어떻게 고전적 능력의 상호작용 지수를 일반화하는가?

주요 결과

• 이중능력의 Möbius 변환은 Rota 이론에 기반하여 유도되며, 이중계수의 포함관계와 이중계수의 조합계수를 포함한 닫힌 형태의 표현식을 가진다.
• 상호작용 지수 I^v(S,T)는 Möbius 변환의 선형변환으로서 유도되며, (S,T)의 초집합 및 부분집합에 대한 합산을 포함한 공식을 가진다.
• k-덧셈형 이중능력의 경우, |T| < n−k 이면 상호작용 지수 I^v(S,T)는 0이 되며, |T| = n−k 이면 Möbius 값 m(S,T)과 동일하다.
• CPT형 이중능력의 경우, 상호작용 지수 I^v(S,T)는 S=∅ 또는 T=∅일 때에만 비영이 되며, 이는 양성 및 음성 부분 간의 독립성을 반영한다.
• v(S,T) = ν₁(S) − ν₂(T) 이면, 상호작용 지수 I^v(S,∅)는 고전적 상호작용 지수 I^{ν₁}(S) 와 같고, I^v(∅,T)는 I^{ar{ν}_2}(T) 와 같다. 이는 이중능력과 고전적 퍼지 측도 간의 연결 고리를 제공한다.
• 기본 능력 ν를 갖는 대칭적 이중능력의 경우, 상호작용 지수는 I^v(S,∅) = I^ν(S) 와 I^v(∅,T) = (−1)^{t+1} I^ν(T) 를 만족하며, 이는 음성 부분에 대해 부호 반전이 일어남을 보여준다.