[论文解读] Bivariate Lagrange interpolation at the node points of Lissajous curves - the degenerate case

Wolfgang Erb|arXiv (Cornell University)|Mar 3, 2015

Advanced Numerical Analysis Techniques参考文献 10被引用 4

一句话总结

该论文为退化Lissajous曲线节点点上的双变量Lagrange插值建立了理论框架，该框架推广了Padua点。论文证明了在定义的多项式空间中插值的唯一性，推导出显式的Lagrange基多项式，并表明Lebesgue常数呈对数增长，从而确认了在各向异性区域上连续函数的稳定性与收敛性。

ABSTRACT

In this article, we study bivariate polynomial interpolation on the node points of degenerate Lissajous figures. These node points form Chebyshev lattices of rank $1$ and are generalizations of the well-known Padua points. We show that these node points allow unique interpolation in appropriately defined spaces of polynomials and give explicit formulas for the Lagrange basis polynomials. Further, we prove mean and uniform convergence of the interpolating schemes. For the uniform convergence the growth of the Lebesgue constant has to be taken into consideration. It turns out that this growth is of logarithmic nature.

研究动机与目标

• 将Padua点的插值理论扩展至非退化Lissajous框架未涵盖的退化Lissajous曲线。
• 将退化Lissajous曲线的节点点表征为秩1的切比雪夫格点，从而实现与已知点集的统一处理。
• 建立插值方案的解析收敛性结果，包括L^r均值收敛与一致收敛，重点关注Lebesgue常数的行为。
• 研究参数$ p $在各向异性矩形区域中的影响，揭示其在适应方向平滑性方面的角色。
• 提供Lagrange基多项式的显式公式，并通过在光滑与非光滑函数上的数值实验验证收敛性。

提出的方法

• 定义退化Lissajous曲线$ \gamma_{n,p}(t) = (\cos(nt), \cos((n+p)t)) $，其中$ n, p \in \mathbb{N} $，$ \gcd(n, n+p) = 1 $，并在$ t_k = \frac{\pi k}{n(n+p)} $，$ k = 0, \dots, n(n+p) $处采样，得到节点集$ \mathrm{LD}_{n,p} $。
• 将$ \mathrm{LD}_{n,p} $表征为秩1的切比雪夫格点，将其与已知的插值点集（如Padua点）关联起来。
• 将多项式空间$ \Pi_{n,p}^{2,L} $定义为在$ \mathrm{LD}_{n,p} $处插值唯一可解的双变量多项式空间，并推导出基本Lagrange基多项式的显式公式。
• 利用Lebesgue常数的有界性，证明连续函数在$ L^r $范数下的均值收敛性。
• 通过分析Lebesgue常数$ \Lambda_{n,p} $的增长行为，建立一致收敛性，表明其呈对数增长，具体为$ \mathcal{O}(\ln^2 n) $，与Padua点情形一致。
• 在$ [-1,1]^2 $、$ [0,1]^2 $和$ [0,2] \times [0,1] $上进行数值实验，使用具有不同平滑度的测试函数，比较不同$ p_n $值下的性能表现。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以在退化Lissajous曲线的节点点上建立唯一的双变量Lagrange插值？
• RQ2 在这些节点点上插值唯一可解的多项式空间的结构是什么？
• RQ3 该插值方案的Lebesgue常数在渐近行为上如何表现，是否能保证收敛性？
• RQ4 参数$ p $的选择如何影响在各向异性矩形区域上的近似质量？
• RQ5 该插值方案能否在具有方向平滑性的函数上实现最优收敛速率，$ p $如何影响这一性能？

主要发现

• 退化Lissajous曲线的节点点$ \mathrm{LD}_{n,p} $允许在空间$ \Pi_{n,p}^{2,L} $中实现唯一的双变量Lagrange插值，该空间是$ \Pi_n^2 $的真子空间。
• 推导出Lagrange基多项式的显式公式，其形式与Padua点情形类似，从而可高效计算插值结果。
• Lebesgue常数$ \Lambda_{n,p} $以$ \mathcal{O}(\ln^2 n) $增长，确认了对数增长特性，确保了插值方案的稳定性和收敛性。
• 证明了连续函数在$ L^r $-范数下的均值收敛性，收敛速率取决于函数的方向平滑性。
• 数值实验表明，在$ [0,1]^2 $等各向同性区域上，$ p_n = 1 $（即Padua点）表现最优；而在$ [0,2] \times [0,1] $等各向异性区域上，较大的$ p_n $值（如$ p_n = n+1 $）可提升性能。
• 对于具有混合平滑性的函数，$ p_n $的选择可调节方向模连续性，当$ p_n = \lfloor \sqrt{n} \rfloor n+1 $时，对在某一变量上不光滑的函数可获得最佳结果。