[논문 리뷰] Black-Scholes equation from Gauge Theory of Arbitrage

Kirill Ilinski, Gleb Kalinin|arXiv (Cornell University)|1997. 12. 03.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 10인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 금융 시장이 비틀림( curvature )에 해당하는 아르비트 기회를 가진 게이지 장 이론(Gauge Field Theory)으로 간주되는 게이지 이론적 아르비트(Gauge Theory of Arbitrage, GTA)에서 블랙-숄즈 방정식을 유도한다. 시장의 비브라트(가상의 아르비트)와 시장 피드백으로 인한 비국소 보정 항을 도입하여, 블랙-숄즈 PDE를 비국소 적분미분 방정식으로 변형함으로써 비브라운 운동적 가격 역학과 시장 비효율성을 더 잘 반영한다.

ABSTRACT

We apply Gauge Theory of Arbitrage (GTA) {hep-th/9710148} to derivative pricing. We show how the standard results of Black-Scholes analysis appear from GTA and derive correction to the Black-Scholes equation due to a virtual arbitrage and speculators reaction on it. The model accounts for both violation of the no-arbitrage constraint and non-Brownian price walks which resemble real financial data. The correction is nonlocal and transform the differential Black-Scholes equation to an integro-differential one.

연구 동기 및 목표

• 금융 시장을 게이지 장 이론으로 간주하는 게이지 이론적 아르비트(GTA)를 활용해 파생상품 가격 결정을 재구성하기.
• 표준 블랙-숄즈 방정식이 GTA 프레임워크의 극한 경우로 유도됨을 보여주기.
• 일시적인 아르비트 기회와 비브라운 운동이 아닌 가격 이동과 같은 시장 불완전성을 반영하기.
• 게이지 이론적 프레임워크 내에서 아르비트에 대한 투자자 반응을 동적 피드백 메커니즘으로 모델링하기.
• 비국소 보정 항을 포함시켜 고전적 가정을 초월한 블랙-숄즈 모델을 확장하기.

제안 방법

• 금융 시장을 연결( connection )으로 나타내는 주기브루니드(Principal Bundle)로 형식화하며, 이 연결은 시장의 리스크 중립 측도를 나타낸다.
• 국소 아르비트 잠재력( potential )을 나타내는 곡률 2형식을 도입하며, 이는 게이지 이론에서의 장 강도와 유사하다.
• 아르비트 없음 조건에서의 평탄한 연결 극한에서 블랙-숄즈 PDE를 운동 방정식으로 유도한다.
• 비자명한 곡률을 통한 가상의 아르비트 효과를 포함시켜 가격 결정 방정식에 보정 항을 도입한다.
• 투자자 행동을 곡률에 대한 반응으로 모델링하며, 적분미분 연산자를 통한 비국소 피드백 메커니즘을 도입한다.
• 경로 적분 또는 콘볼루션 커널을 통해 국소 블랙-숄즈 PDE를 비국소 적분미분 방정식으로 변환한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 블랙-숄즈 방정식은 금융 시장의 게이지 이론적 프레임워크에서 어떻게 유도될 수 있는가?
• RQ2 게이지 장 모델에서 곡률의 역할은 무엇이며, 아르비트 기회를 어떻게 표현하는가?
• RQ3 비브라운 운동적 가격 역학과 시장 비효율성은 표준 블랙-숄즈 모델에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 가상의 아르비트와 시장 피드백으로 인한 블랙-숄즈 방정식 보정의 수학적 형태는 무엇인가?
• RQ5 유도된 적분미분 방정식은 고전적 PDE보다 실제 금융 데이터를 더 잘 기술할 수 있는가?

주요 결과

• 표준 블랙-숄즈 방정식은 게이지 이론적 아르비트의 평탄한 연결 극한으로서 나타나며, 이는 아르비트 없음 조건에 해당한다.
• 국소 블랙-숄즈 PDE를 적분미분 방정식으로 변형하는 비국소 보정 항이 도출되었다.
• 보정 항은 게이지 장의 곡률에서 기인하며, 이는 가상의 아르비트 기회와 그 시장 영향을 나타낸다.
• 모델은 실제 금융 시계열에서 관찰되는 비브라운 운동이 아닌 가격 이동을 반영한다.
• 아르비트에 대한 투자자 반응은 동적 피드백으로 모델링되며, 보정된 방정식의 비국소 커널에 포함된다.
• 결과로 도출된 방정식은 시장 마이크로구조 효과와 일시적인 비효율성을 반영함으로써 블랙-숄즈 모델을 일반화한다.