[论文解读] Blind Deconvolution with Additional Autocorrelations via Convex Programs
该论文提出了一种基于输入信号自相关先验知识的凸优化框架，用于盲反卷积，当信号无共同零点时可实现精确恢复。通过将卷积模糊性映射到z域中的零点交换，并构建对偶证书，该方法通过半定规划实现确定性恢复，数值验证表明其对噪声具有鲁棒性。
In this work we characterize all ambiguities of the linear (aperiodic) one-dimensional convolution on two fixed finite-dimensional complex vector spaces. It will be shown that the convolution ambiguities can be mapped one-to-one to factorization ambiguities in the $z-$domain, which are generated by swapping the zeros of the input signals. We use this polynomial description to show a deterministic version of a recently introduced masked Fourier phase retrieval design. In the noise-free case a (convex) semi-definite program can be used to recover exactly the input signals if they share no common factors (zeros). Then, we reformulate the problem as deterministic blind deconvolution with prior knowledge of the autocorrelations. Numerically simulations show that our approach is also robust against additive noise.
研究动机与目标
- 提供有限维复向量空间中卷积模糊性的完整且数学严谨的表征。
- 建立盲反卷积可识别的条件，特别是当输入信号无共同零点时。
- 利用信号自相关知识，将盲反卷积重新表述为凸半定规划问题。
- 在无噪声情况下通过凸规划实现信号的确定性恢复，并在加性噪声下展示其鲁棒性。
- 在确定性设置下显式构造相位恢复的对偶证书，扩展先前的掩蔽傅里叶相位恢复设计。
提出的方法
- 作者通过z域中零点交换因子分解的一一对应关系表征卷积模糊性，表明模糊性源于输入信号z变换中的共同零点对。
- 通过引入已知的输入信号自相关性，将盲反卷积重新表述为相位恢复问题，借鉴Jaganathan等人先前的工作。
- 构建凸半定规划以恢复原始信号，显式推导对偶证书，证明在无共同零点条件下可实现精确恢复。
- 通过对掩蔽傅里叶相位恢复中的思想进行转化，将方法推广至确定性框架，确保在信号无共同因子时解的唯一性。
- 利用时序反向的自相关序列和块托普利茨矩阵表示卷积的格拉姆结构，实现高效的半定规划建模。
- 从自相关序列中显式推导出对偶变量（λ矩阵），确保对偶解满足凸规划的最优性条件。
实验结果
研究问题
- RQ1在复向量空间上的有限维线性卷积中，模糊性的完整集合是什么？其代数表征为何？
- RQ2在仅知卷积输出和信号自相关性先验知识的条件下，盲反卷积在何种条件下可唯一求解？
- RQ3当输入信号无共同零点时，能否构建一个凸半定规划以在无噪声情况下精确恢复信号？
- RQ4在确定性设置下，如何显式构造对偶证书以证明盲反卷积问题的精确恢复？
- RQ5在实际信号恢复场景中，所提出的凸方法对加性噪声的鲁棒性如何？
主要发现
- 论文证明，当且仅当输入信号在z域表示中无共同零点时，盲反卷积是唯一可识别的。
- 在无噪声情况下，所提出的凸半定规划可精确恢复原始信号，前提是输入无共同因子。
- 该方法通过构造满足凸规划最优性条件的对偶证书，证明在无共同零点条件下解的唯一性。
- 数值仿真表明，该凸方法对加性噪声保持鲁棒，能维持高精度的信号重建。
- 对偶证书通过时序反向的自相关序列和块托普利茨矩阵显式构造，验证了解的最优性。
- 该框架将先前的掩蔽傅里叶相位恢复设计推广至确定性设置，实现无需统计假设的精确恢复。
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