[논문 리뷰] Bloch's Conjecture, Deligne Cohomology and Higher Chow Groups

Morihiko Saito|ArXiv.org|1999. 10. 21.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 33인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 블로흐의 추측, 델리뉴 코homology, 그리고 고차 호모로지 군 사이의 연결고리를 확립하며, 일반화된 델리뉴 코homology의 귀납적 극한을 통해 아벨-야코비 사상의 핵을 표현한다. 초평면 절단에서 블로흐의 추측이 성립할 경우, 고차원 2차원 사이클에 대한 알바네제 사상의 전단사성을 증명하고, 특정 경우에서 노리의 추측을 검증하며, 비준거성 있는 매끄러운 다양체로 비엘린슨의 공식을 확장한다.

ABSTRACT

We express the kernel of Griffiths' Abel-Jacobi map by using the inductive limit of Deligne cohomology in the generalized sense (i.e. the absolute Hodge cohomology of A. Beilinson). This generalizes a result of L. Barbieri-Viale and V. Srinivas in the surface case. We then show that the Abel-Jacobi map for codimension 2 cycles and the Albanese map are bijective if a general hyperplane section is a surface for which Bloch's conjecture is proved. In certain cases we verify Nori's conjecture on the Griffiths group. We also prove a weak Lefschetz-type theorem for (higher) Chow groups, generalize a formula for the Abel-Jacobi map of higher cycles due to Beilinson and Levine to the smooth non proper case, and give a sufficient condition for the nonvanishing of the transcendental part of the image by the Abel-Jacobi map of a higher cycle on an elliptic surface, together with some examples.

연구 동기 및 목표

• 일반화된 (절대 호지) 델리뉴 코hom로지의 귀납적 극한을 통해 아벨-야코비 사상의 핵을 일반화된 의미에서 기술하는 것.
• 일반 초평면 절단이 블로흐의 추측을 만족할 경우, 고차원 2차원 사이클에 대한 아벨-야코비 사상과 알바네제 사상이 전단사가 되는 조건을 설정하는 것.
• 특정 기하적 설정에서 노리의 추측, 즉 그리피스 그룹에 대한 추측을 검증하는 것.
• 비준거성 있는 매끄러운 다양체로의 고차 사이클에 대한 비엘린슨의 공식을 아벨-야코비 사상으로 일반화하는 것.
• 타원 곡면에서 고차 사이클의 아벨-야코비 이미지의 초월적 부분이 0이 아닐 조건을 제공하고, 이를 뒷받침하는 예시를 제시하는 것.

제안 방법

• 비엘린슨의 의미에서의 절대 호지 코hom로지로서 일반화된 델리뉴 코hom로지의 귀납적 극한을 사용하여 아벨-야코비 사상의 핵을 기술한다.
• 고차 호모로지 군 이론과 그들이 델리뉴 코hom로지와 관련된 대수적 사이클의 대수적 동치에 대한 분석을 적용한다.
• 고차 호모로지 군에 대한 약한 레프셰츠 유형 정리를 적용하여 다양체의 코hom로지적 성질과 그 초평면 절단의 성질을 연결한다.
• 비준거성 있는 매끄러운 다양체의 경우 비엘린슨의 아벨-야코비 사상 공식을 적응한다.
• 타원 곡면 이론을 적용하여 아벨-야코비 이미지의 초월적 부분이 0이 아닌 예를 구성한다.
• 블로흐의 추측의 맥락에서 유한성과 단사성 결과를 유도하기 위해 알바네제 사상의 전단사성을 핵심 도구로 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고차원 2차원 사이클에 대한 아벨-야코비 사상의 핵이 일반화된 델리뉴 코hom로지의 귀납적 극한으로 기술될 수 있는 조건은 무엇인가?
• RQ2 일반 초평면 절단이 블로흐의 추측을 만족할 경우, 고차원 2차원 사이클에 대한 알바네제 사상이 언제 전단사가 되는가?
• RQ3 제안된 프레임워크를 통해 노리의 추측, 즉 그리피스 그룹에 대한 추측을 어떤 경우에 검증할 수 있는가?
• RQ4 비준거성 있는 매끄러운 다양체로의 고차 사이클에 대한 비엘린슨의 아벨-야코비 사상 공식은 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ5 타원 곡면에서 고차 사이클의 아벨-야코비 이미지의 초월적 부분이 0이 아닐 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 고차원 2차원 사이클에 대한 아벨-야코비 사상의 핵은 일반화된 델리뉴 코hom로지 군의 귀납적 극한과 자연적으로 동형이다.
• 일반 초평면 절단이 블로흐의 추측을 만족할 경우, 고차원 2차원 사이클에 대한 알바네제 사상은 전단사이다.
• 초평면 절단이 블로흐의 추측이 성립하는 표면일 경우, 노리의 추측, 즉 그리피스 그룹에 대한 추측이 검증된다.
• 고차 호모로지 군에 대해 약한 레프셰츠 유형 정리가 확립되어, 다양체의 색결군과 그 초평면 절단의 색결군을 연결한다.
• 타원 곡면에서 고차 사이클의 아벨-야코비 이미지의 초월적 부분이 0이 아닐 조건을 충분히 제공하며, 명시적인 예가 제시된다.
• 비엘린슨의 고차 사이클에 대한 아벨-야코비 사상 공식이 비준거성 있는 매끄러운 경우로 일반화되어 적용 범위가 확장된다.