[논문 리뷰] Blowup for the nonlinear heat equation with small initial data in scale-invariant Besov norms

Lorenzo Brandolese, Fernando Cortez|arXiv (Cornell University)|2019. 02. 17.

Navier-Stokes equation solutions참고 문헌 29인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 비선형 열 방정식 $ u_t = \Delta u + u^b $ 에서 $ b \geq 2 $ 인 경우, 척도 불변 베소프 노름 $ \dot{B}^{-2/b}_{n(b-1)/2, q}(\mathbb{R}^n) $ 에서 임의로 작은 초기 자료가 여전히 유한 시간 내 폭발 해를 가질 수 있음을 보여준다. 주파수 국소화된 초기 자료와 주파수 공간에서의 에너지 추정을 이용하여, 이 베소프 노름에서의 작고성 조건이 전역 존재성을 보장하지는 않음을 증명함으로써, 이전의 전역 존재성 결과에서의 작고성 조건의 최적성을 입증한다.

ABSTRACT

We consider the Cauchy problem of the nonlinear heat equation $u_t -\\Delta u= u^{b},\\ u(0,x)=u_0$, with $b\\geq 2$ and $b\\in \\mathbb{N}$. We prove that initial data $u_0\\in \\mathcal{S}(\\mathbb{R}^{n})$ (the Schwartz class)arbitrarily small in the scale invariant Besov-norm$\\dot B^{-2/b}_{n(b-1) b/2,q}(\\mathbb{R}^{n})$, can produce solutions that blow up in finite time. The case $b=3$ answers a question raised by Yves Meyer.Our result also proves that the smallness assumption put in an earlier work by C. Miao, B.~Yuan and B. Zhang, for the global-in-time solvability, is essentially optimal.

연구 동기 및 목표

• 척도 불변 베소프 노름 $ \dot{B}^{-2/b}_{n(b-1)/2,q}(\mathbb{R}^n) $ 에서 임의로 작은 초기 자료가 비선형 열 방정식에서 유한 시간 내 폭발을 일으킬 수 있는지 조사한다.
• 해의 전역 존재성을 위한 작고성 조건의 날카로움을 규명한다.
• 유에스 미어가 제기한 비선형 열 방정식에서 $ b=3 $ 인 경우의 폭발 문제를 해결한다.
• 해의 전역 존재성을 위한 $ \dot{B}^{-2/b}_{n(b-1)/2,q} $-노름에서의 작고성 조건이 전역 존재성에 충분하지 않음을 보이며, 이는 이전의 전역 존재성 결과가 최적임을 나타낸다.

제안 방법

• 이중 원환대에서 컴acts한 푸리에 지지 집합을 가진 주파수 국소화 초기 자료 $ u_N $ 를 구성하여 노름 크기와 비선형 효과의 강화를 통제한다.
• 두아멜 공식을 사용하여 해를 열 반군의 변형으로 표현하고, 비선형 항의 기여에 집중한다.
• 컨볼루션 추정과 시간에 따른 지수 감쇠를 이용해 주파수 공간에서 해의 $ L^2 $-노름을 추정한다.
• 주파수 공간에서 비선형 항의 $ L^2 $-노름 증가에 기반한 폭발 기준을 적용한다.
• 증가하는 파장 수를 가진 주파수 성분의 재귀적 구성으로 시간이 지남에 따라 비선형 항이 지배하도록 보장한다.
• 비선형 항의 성장과 유한 시간 내 폭발을 연결하는 데 사용된 레마(레마 4.2)를 적용하여 $ T^*_N < \delta $ 를 소형 $ \delta $ 에 대해 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비선형 열 방정식 $ u_t = \Delta u + u^b $ 에서 척도 불변 베소프 노름 $ \dot{B}^{-2/b}_{n(b-1)/2,q}(\mathbb{R}^n) $ 에서 임의로 작은 초기 자료가 여전히 유한 시간 내 폭발을 일으킬 수 있는가?
• RQ2 $ \dot{B}^{-2/b}_{n(b-1)/2,q} $-노름에서의 작고성 조건이 해의 전역 존재성에 필수적이고 충분한가?
• RQ3 $ b=3 $ 인 경우, 이 베소프 공간에서의 작고성 조건이 여전히 폭발을 가능하게 하는가? (유에스 미어가 제기한 질문을 해결한다.)
• RQ4 베소프 공간 $ \dot{B}^{-2/b}_{n(b-1)/2,q} $ 에서 제3의 인덱스 $ q $ 는 폭발 행동에 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 $ \dot{B}^{-2/b}_{n(b-1)/2,q} $-노름에서의 작고성 가정을 완화시킬 수 있는가, 아니면 전역 존재성에 대해 최적인가?

주요 결과

• 비선형 열 방정식에서 $ b \geq 2 $ 인 경우, 척도 불변 베소프 공간 $ \dot{B}^{-2/b}_{n(b-1)/2,q}(\mathbb{R}^n) $ 에서 임의로 작은 초기 자료가 유한 시간 내 폭발 해를 가질 수 있다.
• 초기 자료가 스웨르츠 클래스에 속하고 $ \dot{B}^{-2/b}_{n(b-1)/2,q} $-노름이 임의로 작을 때조차 폭발이 발생할 수 있다.
• 이 결과는 Miao, Yuan, Zhang 가 이전에 제안한 바와 같이, 전역 존재성에 있어 $ \dot{B}^{-2/b}_{n(b-1)/2,q} $-노름에서의 작고성 조건이 본질적으로 최적임을 보여준다.
• $ b=3 $ 인 경우, 논문은 유에스 미어가 제기한, 이 노름에서의 작은 초기 자료로도 폭발이 발생할 수 있는지를 확인하는 질문에 긍정적으로 답한다.
• 비선형 항이 시간이 지남에 따라 빠르게 증가하도록 주파수 지지 집합이 이중 원환대에 있는 초기 자료를 구성하는 데 기반하여 증명이 이루어지며, 이는 시간 $ \delta/2 $ 이전에 폭발을 초래한다.
• 주파수 국소화 에너지 추정과 비선형 항의 성장과 유한 시간 내 폭발을 연결하는 레마를 통해 폭발 기준이 확립된다.