[논문 리뷰] Boltzmann's Entropy and Large Deviation Lyapunov Functionals for Closed and Open Macroscopic Systems

Joel L. Lebowitz|arXiv (Cornell University)|2011. 12. 07.

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics참고 문헌 4인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 폐쇄계 및 개방계의 정상 상태에서의 대칭성의 큰 편차 기능(LDF)이 그들의 거시적 진화 방정식에 대해 리아푸노프 함수로 기능한다는 것을 입증한다. 평형 및 비평형 정상 상태에서 볼츠만 엔트로피와 LDF를 연결함으로써, LDF가 거시적 궤적을 따라 단조롭게 증가함을 보여주며, 고립계와 열 또는 입자 저장소가 있는 개방계에서 열역학 제2법칙에 대한 엄밀한 역학적 근거를 제공한다.

ABSTRACT

I give a brief overview of the resolution of the apparent problem of reconciling time symmetric microscopic dynamic with time asymmetric equations describing the evolution of macroscopic variables. I then show how the large deviation function of the stationary state of the microscopic system can be used as a Lyapunov function for the macroscopic evolution equations.

연구 동기 및 목표

• 시간 대칭의 미세 체계 역학에서 기인하는 시간 비대칭적 거시적 행동의 역설을 해결하기 위해.
• 거시계의 정상 상태에서 볼츠만 엔트로피와 큰 편차 기능(LDF) 사이의 연결 고리를 확립하기 위해.
• 폐쇄계와 개방계 모두에서 LDF가 거시적 진화 방정식에 대해 리아푸노프 함수로 작용함을 보여주기 위해.
• 다중 저장소에 연결된 시스템을 위해 제2법칙을 고립계를 초월해 일반화하기 위해, 다수의 저장소에 연결된 시스템에 대해 리아푸노프 함수를 식별하기 위해.

제안 방법

• 거시적 진화 방정식에 대해 후보 리아푸노프 함수로 정상 측도의 큰 편차 기능(LDF)을 사용한다.
• 고립계의 경우, LDF는 상대 볼츠만 엔트로피의 음수인 S_B(M) - S_B(M_eq)와 동일하며, 평형 상태로 향해 단조롭게 증가한다.
• 일정한 온도 T̄의 열 저장소와 접촉하는 개방계의 경우, LDF는 F(M) = [E - T̄S_le]/T̄로 주어지며, 이는 캐논리컬 앙상블의 상대 엔트로피의 음수와 같다.
• 나비에-스톡스 방정식 또는 반응-확산형 방정식에 의해 지배되는 시스템에 LDF를 적용하여, LDF가 거시적 궤적을 따라 감소함을 보여준다.
• 입자 저장소가 있는 모델(예: 제로-레인지 과정)에서 비평형 정상 상태(NESS)에 대해 명시적인 리아푸노프 함수를 구성한다.
• LDF 기능의 시간 도함수를 유도하고, 이 도함수가 음이 아닌 것을 증명함으로써 리아푸노프 행동을 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정상 측도의 큰 편차 기능(LDF)이 거시적 진화 방정식에 대해 리아푸노프 함수로 작용할 수 있는가?
• RQ2 평형 및 비평형 정상 상태에서 볼츠만 엔트로피는 큰 편차 기능과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 다중 저장소를 가진 개방계에 대해 제2법칙의 적절한 일반화는 무엇인가?
• RQ4 비평형 시스템에서 LDF를 명시적으로 계산하고, 거시적 궤적을 따라 단조롭게 감소함을 보일 수 있는가?

주요 결과

• 고립계에서 정상 측도의 큰 편차 기능(LDF)은 상대 볼츠만 엔트로피 S_B(M) - S_B(M_eq)의 음수와 동일하며, 거시적 진화에 대해 리아푸노프 함수로 작용한다.
• 일정한 온도 T̄의 열 저장소와 접촉하는 시스템의 경우, LDF F(M) = [E - T̄S_le]/T̄는 리아푸노프 함수이며, 그 시간 도함수가 음이 아닌 것으로 확인되어 엔트로피 생성을 확인한다.
• 다른 밀도를 가진 입자 저장소가 있는 제로-레인지 과정에 대해 LDF는 F(σ) = ∫_V F_u(σ(x)) dx로 명시적으로 구성되며, 그 시간 도함수가 음이 아닌 것으로 밝혀졌다.
• 나비에-스톡스 방정식에 대한 LDF는 리아푸노프 함수로 작용하며, 제2법칙을 유체역학 수준의 진화로 일반화한다.
• 다중 열 저장소가 있는 시스템에서는 총 엔트로피 생성이 음이 아니며, 비평형 정상 상태(NESS)의 LDF가 리아푸노프 함수로 작용한다.
• 혼합된 디리클레/노이만 경계 조건을 가진 시스템과 ∂_t ρ = ∇²σ(ρ) - E∇σ(ρ)와 같은 장 이론에 대해서도 이 방법이 적용되며, LDF의 단조성이 확인된다.