[논문 리뷰] Bounding the Mim-Width of Hereditary Graph Classes

Nick Brettell, Jake Horsfield외 3명|arXiv (Cornell University)|2020. 01. 01.

Advanced Graph Theory Research참고 문헌 12인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 모든 s ≥ 0 및 t ≥ 1에 대해 (Kt, sP1 + P5)-free 그래프의 mim-width가 유계이면서 다항시간 내로 계산 가능하다는 것을 증명한다. 상수 크기의 지배 집합을 이용한 분기 분해를 구성하고, 분할 집합 간의 유도 매칭에 레이먼드 이론적 경계를 적용함으로써, 이러한 그래프가 k-Colouring과 같은 NP-난이도 문제에 대해 효율적인 알고리즘을 갖춘다는 것을 입증한다. 이는 이 클래스에서 기존의 다항시간 가용성 결과를 통합적으로 설명한다.

ABSTRACT

A large number of NP-hard graph problems are solvable in XP time when parameterized by some width parameter. Hence, when solving problems on special graph classes, it is helpful to know if the graph class under consideration has bounded width. In this paper we consider mim-width, a particularly general width parameter that has a number of algorithmic applications whenever a decomposition is "quickly computable" for the graph class under consideration. We start by extending the toolkit for proving (un)boundedness of mim-width of graph classes. By combining our new techniques with known ones we then initiate a systematic study into bounding mim-width from the perspective of hereditary graph classes, and make a comparison with clique-width, a more restrictive width parameter that has been well studied. We prove that for a given graph H, the class of H-free graphs has bounded mim-width if and only if it has bounded clique-width. We show that the same is not true for (H₁,H₂)-free graphs. We identify several general classes of (H₁,H₂)-free graphs having unbounded clique-width, but bounded mim-width, illustrating the power of mim-width. Moreover, we show that a branch decomposition of constant mim-width can be found in polynomial time, for these classes. Hence, as mentioned, these results have algorithmic implications: when the input is restricted to such a class of (H₁,H₂)-free graphs, many problems become polynomial-time solvable, including classical problems such as k-Colouring and Independent Set, domination-type problems known as LC-VSVP problems, and distance versions of LC-VSVP problems, to name just a few. We also prove a number of new results showing that, for certain H₁ and H₂, the class of (H₁,H₂)-free graphs has unbounded mim-width. Boundedness of clique-width implies boundedness of mim-width. By combining our results, which give both new bounded and unbounded cases for mim-width, with the known bounded cases for clique-width, we present summary theorems of the current state of the art for the boundedness of mim-width for (H₁,H₂)-free graphs. In particular, we classify the mim-width of (H₁,H₂)-free graphs for all pairs (H₁,H₂) with |V(H₁)| + |V(H₂)| ≤ 8. When H₁ and H₂ are connected graphs, we classify all pairs (H₁,H₂) except for one remaining infinite family and a few isolated cases.

연구 동기 및 목표

• 모든 s ≥ 0 및 t ≥ 1에 대해 (Kt, sP1 + P5)-free 그래프의 mim-width가 유계이면서 다항시간 내로 계산 가능한지 여부를 규명하는 것.
• k-Colouring의 다항시간 해법이 (sP1 + P5)-free 그래프에서 가능함을 설명하기 위해, 이와 유계 mim-width를 연결함으로써 구조적 설명을 제공하는 것.
• 유계 mim-width에 대한 이해를 유전적 그래프 클래스에 확장하기 위해, 무한한 수의 개방 사례를 해결하는 것.

제안 방법

• 금지된 클리크 Kt의 크기인 t에 대해 귀납법을 사용하여, (Kt, sP1 + P5)-free 그래프의 유계 mim-width를 증명한다.
• 모든 이러한 그래프에서 상수 크기의 지배 집합 D를 식별하며, P5-free 또는 sP1 + P5-free 성질을 활용하여 |D| ≤ max{3, t−1} 또는 s+4로 유계화한다.
• 정점 집합 V ∓ D를 D의 정점에 대한 인접성 기반으로 p = |D|개의 집합 X1, ..., Xp로 분할하여, 각 Xi가 (Kt−1, sP1 + P5)-free 부분그래프를 유도하도록 보장한다.
• 레이먼드 정리를 적용하여, 임의의 Xi와 Xj (i ≠ j) 사이의 유도 매칭 크기를 유계화하며, cutmimG(Xi, Xj) < R(t−1, R(t−1, s+2))임을 보인다.
• Xi 구성요소에 대한 재귀적 구성 방식을 사용하여 G − D에 대해 유계 mim-width를 갖는 분기 분해를 구성한다.
• D를 포함하기 위해 |D|+2개의 잎을 가진 부분삼중수 나무를 첨부함으로써 분해를 확장하며, mim-width가 상수 배수의 추가 요소 내에서 유지됨을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 s ≥ 0 및 t ≥ 1에 대해 (Kt, sP1 + P5)-free 그래프의 mim-width가 유계이면서 다항시간 내로 계산 가능한가?
• RQ2 (sP1 + P5)-free 그래프에서 k-Colouring의 다항시간 해법은 유계 mim-width에 의해 설명될 수 있는가?
• RQ3 (Kt, sP1 + P5)-free 그래프의 어떤 구조적 성질이 낮은 mim-width 분기 분해를 구성하는 데 기여하는가?

주요 결과

• 모든 s ≥ 0 및 t ≥ 1에 대해 (Kt, sP1 + P5)-free 그래프의 mim-width는 s와 t에만 의존하는 상수로 유계이며, 이 경계는 다항시간 내로 계산 가능하다.
• 모든 고정된 s ≥ 0 및 t ≥ 1에 대해, (Kt, sP1 + P5)-free 그래프에 대해 유계 mim-width를 갖는 분기 분해를 다항시간 내로 계산할 수 있다.
• 이 증명은 (sP1 + P5)-free 그래프 클래스가 유계 mim-width를 갖는다는 것을 입증하며, 이는 이 클래스에서 k-Colouring의 다항시간 해법을 설명한다.
• 분해의 임의의 두 부분 Xi와 Xj 사이의 최대 유도 매칭 크기는 R(t−1, R(t−1, s+2))로 유계이며, 이는 유계 mim-width를 보장한다.
• 분기 분해의 구성은 효율적이며, 상수 크기의 지배 집합과 유도 부분그래프의 재귀적 분해에 기반한다.
• 결과적으로, 유계 mim-width 그래프에서 다항시간으로 해결 가능한 모든 NP-난이도 문제들(예: k-Colouring)은 (sP1 + P5)-free 그래프에서도 다항시간 내로 해결 가능하며, 그 근본적인 이유는 유계 mim-width이기 때문이다.