[논문 리뷰] Bounds and Computation of Irregularity of a Graph

Hosam Abdo, Nathann Cohen외 1명|arXiv (Cornell University)|2012. 07. 19.

Graph theory and applications참고 문헌 8인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 n개의 정점으로 이루어진 단순 무방향 그래프의 정확한 최대 비정규성 값을 규명하며, 클리크-스타 그래프 $KS_{fioor n/3fl, ficeil 2n/3fl}$가 날카로운 상한 $filoor  \frac{n}{3}  fl ficeil  \frac{2n}{3}  fl \binom{ficeil  \frac{2n}{3}  fl - 1}{2}$에 도달함을 증명하고, 비정규성 계산을 위한 효율적인 방법으로도 도이너스 시퀀스 기반 상한을 제시한다.

ABSTRACT

Albertson has defined the irregularity of a simple undirected graph $G=(V,E)$ as $ \irr(G) = \sum_{uv\in E}|d_G(u)-d_G(v)|,$ where $d_G(u)$ denotes the degree of a vertex $u \in V$. Recently, this graph invariant gained interest in the chemical graph theory, where it occured in some bounds on the first and the second Zagreb index, and was named the third Zagreb index Fath-Tabar. For general graphs with $n$ vertices, Albertson has obtained an asymptotically tight upper bound on the irregularity of $4 n^3 /27.$ Here, by exploiting a different approach than in Albertson, we show that for general graphs with $n$ vertices the upper bound $\lfloor \frac{n}{3} floor \lceil \frac{2 n}{3} ceil (\lceil \frac{2 n}{3} ceil -1)$ is sharp. Next, we determine $k$-cyclic graphs with maximal irregularity. We also present some bounds on the maximal/minimal irregularity of graphs with fixed minimal and/or maximal vertex degrees, and consider an approximate computation of the irregularity of a graph.

연구 동기 및 목표

• 모든 단순 무방향 그래프 중에서 순서 n인 그래프의 비정규성 불변량의 정확한 최대값을 규명하는 것.
• 최대 비정규성을 달성하는 그래프의 구조를 규명하는 것.
• 도이너스 시퀀스만을 사용하여 그래프의 비정규성을 효율적으로 근사화하는 방법을 개발하는 것.
• 이전의 제3 제브레드 지수(비정규성)에 대한 경계를 개선하여 정확하고 날카로운 상한을 제공하는 것.

제안 방법

• 도이너스 시퀀스를 사용하여 비정규성에 대한 새로운 상한을 유도함: $\text{irr}(G) \leq \sum_{i=0}^{n-1} \min\left(\sum_{d(v)\leq i} \min(d(v), d_{>i}), \sum_{d(v)>i} \min(d(v), d_{\leq i}) \right)$.
• 극값 그래프 이론을 활용하여 최대 비정규성을 가지는 그래프는 최소 $\lfloor n/3 \rfloor$개의 전역 정점을 가져야 한다고 증명함.
• 크리크-스타 그래프 $KS_{p,q}$의 구조를 분석함. 여기서 $KS_{p,q}$는 크기 p의 클리크와 크기 q의 독립집합의 조인(합집합)으로 정의된다.
• n \not\equiv 2 \pmod{3}일 경우 최대 비정규성은 $KS_{\lfloor n/3 \rfloor, \lceil 2n/3 \rceil}$에서 달성되며, n \equiv 2 \pmod{3}일 경우 $KS_{\lfloor n/3 \rfloor, \lceil 2n/3 \rceil}$과 $KS_{\lceil n/3 \rceil, \lfloor 2n/3 \rfloor}$ 둘 다 최대 비정규성을 달성함을 증명함.
• 도이너스 시퀀스의 계산적 열거를 통해 이론적 상한을 검증하고 극값 그래프를 식별함.
• 소프트웨어 도구(Sage, Nauty)를 사용하여 n = 23까지의 그래프에 대해 결과를 열거하고 검증함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 임의의 단순 무방향 그래프의 순서 n에 대해 비정규성 불변량의 정확한 최대값은 무엇인가요?
• RQ2 어떤 그래프 구조가 주어진 n에 대해 최대 비정규성을 달성합니까?
• RQ3 그래프의 도이너스 시퀀스만을 사용하여 비정규성을 효율적으로 근사화할 수 있나요?
• RQ4 비정규성은 알려진 그래프 불변량(예: 제브레드 지수)과 어떻게 관련되어 있으며, 가장 날카로운 알려진 경계는 무엇입니까?

주요 결과

• n개의 정점을 가진 모든 그래프의 최대 비정규성은 정확히 $\left\lfloor \frac{n}{3} \right\rfloor \left\lceil \frac{2n}{3} \right\rceil \binom{\left\lceil \frac{2n}{3} \right\rceil - 1}{2}$이며, 이 경계는 날카로운 상한이다.
• 이 경계를 달성하는 극값 그래프는 클리크-스타 그래프 $KS_{\lfloor n/3 \rfloor, \lceil 2n/3 \rceil}$이며, 유일하게 $n \equiv 2 \pmod{3}$일 경우 두 개의 그래프가 극값임을 제외하고는 이에 해당한다.
• $n \leq 23$ 범위에서 도이너스 시퀀스 기반 비정규성 상한은 클리프-스타 그래프의 실제 비정규성과 일치하며, 이들의 극값성을 확인한다.
• 도이너스 시퀀스로부터 유도된 상한은 극값 그래프에 대해 날카로우며, 전체 그래프 열거 없이도 비정규성을 근사화하는 실용적인 방법을 제공한다.
• 이 연구는 비정규성(제3 제브레드 지수)이 정확히 클리프-스타 구조에서 최대화됨을 확인하며, 오랫동안 남아있던 극값 그래프에 대한 열린 질문을 해결한다.
• 결과적으로 알버트슨의 이전 점근적 경계 $4n^3/27$를 개선하여 정확하고 날카로운 표현을 제공한다.