[논문 리뷰] Braided autoequivalences and the equivariant Brauer group of a quasitriangular Hopf algebra

Jeroen Dello, Yinhuo Zhang|arXiv (Cornell University)|2014. 10. 31.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 8인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 드린펠트 중심 ${}^{H}_{H}\mathcal{YD}$의 브레드 자등형 등가사상과 ${}_{H}\mathcal{M}$ 위에서 자명화 가능한 ${}_{R}H$에 대한 양자 공통 비갈로아 객체 사이의 군 동형을 수립하며, 이는 텐서 자등형 등가사상을 통한 등변 브라우어 군 $\mathrm{BM}(k,H,R)$ 의 카테고리적 해석을 제공한다. 주요 기여는 [18]의 정확한 추론을 브레드 자등형 등가사상과 브레드 모나이드 카테고리 내의 비갈로아 이론을 통해 실현하는 것이다.

ABSTRACT

Let $(H, R)$ be a finite dimensional quasitriangular Hopf algebra over a field $k$, and $_H\mathcal{M}$ the representation category of $H$. In this paper, we study the braided autoequivalences of the Drinfeld center $^H_H\mathcal{YD}$ trivializable on $_H\mathcal{M}$. We establish a group isomorphism between the group of those autoequivalences and the group of quantum commutative bi-Galois objects of the transmutation braided Hopf algebra $_RH$. We then apply this isomorphism to obtain a categorical interpretation of the exact sequence of the equivariant Brauer group $\mathrm{BM}(k, H,R)$ in [18]. To this aim, we have to develop the braided bi-Galois theory initiated by Schauenburg in [14,15], which generalizes the Hopf bi-Galois theory over usual Hopf algebras to the one over braided Hopf algebras in a braided monoidal category.

연구 동기 및 목표

• 드린펠트 중심의 브레드 자등형 등가사상에 의한 등변 브라우어 군 $\mathrm{BM}(k,H,R)$ 의 카테고리적 해석 제공.
• 모든 ${}^{H}_{H}\mathcal{YD}$의 브레드 자등형 등가사상 중 ${}_{H}\mathcal{M}$ 위에서 자명화 가능한 것이 ${}_{R}H$에 대한 양자 공통 비갈로아 객체에서 유래되는지 여부를 해결.
• ${}_{R}H$에 대한 브레드 자등형 등가사상 이론을 브레드 모나이드 카테고리로 확장하고 쇼우엔부르크의 코텐서 함수자 구성의 역을 확립.
• ${}^{H}_{H}\mathcal{YD}$의 텐서 자등형 등가사상과 연결된 사상 $\tilde{\pi}: \mathrm{BM}(k,H,R) \to \mathrm{Gal}^{qc}({}_{R}H)$ 를 텐서 자등형 등가사상으로 연결.

제안 방법

• 브레드 모나이드 카테고리 내에서 브레드 비갈로아 이론을 개발하여, 호프 비갈로아 이론을 브레드 호프 대수로 일반화.
• 비갈로아 객체 $A$ 에 대해 코텐서 함수자 $A \square_B -$ 를 사용하여, 코모듈 카테고리 ${}^B\mathcal{C}$ 와 ${}^L\mathcal{C}$ 사이의 $\mathcal{C}$-선형 텐서 동치를 정의.
• ${}^B\mathcal{C} \to {}^L\mathcal{C}$ 의 $\mathcal{C}$-선형 텐서 자등형 등가사상 $\alpha$ 가 $\alpha(B)$ 를 통해 비갈로아 객체를 유도할 수 있는 조건을 규명하며, 특히 자명한 코모듈에서 브레드 구조와의 호환성을 요구.
• $\mathrm{Gal}^{qc}({}_{R}H)$ 와 $\mathrm{Aut}^{br}({}^{H}_{H}\mathcal{YD}, {}_{H}\mathcal{M})$ 사이의 이sovorphism 를 적용하여 $\tilde{\pi}$ 를 카테고리적으로 해석.
• $H^*$-비갈로아 아즈마야 대수 $A$ 에 대해 $F_A(Z) = (A \otimes Z)^A$ 를 통해 ${}^{H}_{H}\mathcal{YD} \to {}^{H}_{H}\mathcal{YD}$ 의 함자 $F_A$ 를 구성하며, 이 함수자가 ${}_{H}\mathcal{M}$ 에서 자명화됨을 보임.
• ${}_{H}\mathcal{M}$ 의 브라우어 군에서 $\mathrm{Aut}^{br}({}^{H}_{H}\mathcal{YD}, {}_{H}\mathcal{M})$ 로의 합성 $\mathrm{Br}({}_{H}\mathcal{M}) \to \mathrm{Aut}^{br}({}^{H}_{H}\mathcal{YD}, {}_{H}\mathcal{M})$ 가 군 준동형을 유도하며, 그 핵이 $\mathrm{Br}(k)$ 와 동형임을 보임.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 ${}^{H}_{H}\mathcal{YD}$ 의 브레드 자등형 등가사상 중 ${}_{H}\mathcal{M}$ 위에서 자명화 가능한 것이 ${}_{R}H$ 에 대한 양자 공통 비갈로아 객체에서 기인하는가?
• RQ2 정확한 수열 (0.1) 에서의 군 $\mathrm{Gal}^{qc}({}_{R}H)$ 는 ${}^{H}_{H}\mathcal{YD}$ 의 텐서 자등형 등가사상에 의한 카테고리적 해석이 가능한가?
• RQ3 $\tilde{\pi}: \mathrm{BM}(k,H,R) \to \mathrm{Gal}^{qc}({}_{R}H)$ 의 사상은 드린펠트 중심의 브레드 자등형 등가사상에 의한 실현이 가능한가?
• RQ4 $A$ 가 $H^*$-비갈로아 아즈마야 대수일 때, 함자 $F_A(Z) = (A \otimes Z)^A$ 는 ${}^{H}_{H}\mathcal{YD}$ 의 자등형 등가사상과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 $F_A$ 가 $H^*$-비갈로아 경우를 초월해 텐서 자등형 등가사상으로 확장될 수 있는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• ${}_{H}\mathcal{M}$ 에서 자명화 가능한 ${}^{H}_{H}\mathcal{YD}$ 의 브레드 자등형 등가사상 군과 ${}_{R}H$-비갈로아 객체의 양자 공통 군 사이의 군 이sovorphism 수립.
• 이sovorphism 구성은 자등형 등가사상 하에서 브레드 구조를 유지하기 위한 호환성 다이어그램(기호 $\mathbb{A}$) 에 의존한다.
• $\tilde{\pi}: \mathrm{BM}(k,H,R) \to \mathrm{Gal}^{qc}({}_{R}H)$ 는 $\mathrm{Gal}^{qc}({}_{R}H) \cong \mathrm{Aut}^{br}({}^{H}_{H}\mathcal{YD}, {}_{H}\mathcal{M})$ 와 브라우어 군 준동형의 합성으로 카테고리적으로 해석된다.
• 유도된 준동형 $\tau: \mathrm{Pic}({}_{H}\mathcal{M}) \to \mathrm{Aut}^{br}({}^{H}_{H}\mathcal{YD}, {}_{H}\mathcal{M})$ 의 핵은 기저 체 $k$ 의 고전적 브라우어 군 $\mathrm{Br}(k)$ 와 동형이다.
• $H^*$-비갈로아 아즈마야 대수 $A$ 에 대해 함자 $F_A(Z) = (A \otimes Z)^A$ 는 ${}_{H}\mathcal{M}$ 에서 자명화됨을 보였으며, 즉 $X \in {}_{H}\mathcal{M}$ 에 대해 $F_A(X) \cong X$ 이다.
• 논문은 $\tau$ 가 적절한 조건 하에서 다비드로프와 니크시치 [3] 의 것과 일치할 것이라 추측하며, 이는 정확한 수열 (0.1) 이 무한 차원의 구면삼각형 호프 대수로 확장될 수 있음을 암시한다.