[논문 리뷰] Broadcast Dimension of Graphs

Jesse Geneson, Eunjeong Yi|arXiv (Cornell University)|2020. 05. 15.

Graph Labeling and Dimension Problems참고 문헌 20인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 다양한 전송 전력 수준을 갖는 송신기를 사용하여 네트워크 해상도를 모델링하는 메트릭 차원의 새로운 변종인 브로드캐스트 차원을 소개한다. 기본적인 하한을 설정하고, n개 정점으로 구성된 그래프에 대해 브로드캐스트 차원이 Ω(log n)임을 증명하며, 브로드캐스트 차원이 메트릭 차원이나 인접 차원보다 훨씬 작아질 수 있음을 보여주며, 그래프의 내성 및 알고리즘 복잡성에의 적용을 제시한다.

ABSTRACT

In this paper we initiate the study of broadcast dimension, a variant of metric dimension. Let $G$ be a graph with vertex set $V(G)$, and let $d(u,w)$ denote the length of a $u-w$ geodesic in $G$. For $k \ge 1$, let $d_k(x,y)=\min \{d(x,y), k+1\}$. A function $f: V(G) ightarrow \mathbb{Z}^+ \cup \{0\}$ is called a resolving broadcast of $G$ if, for any distinct $x,y \in V(G)$, there exists a vertex $z \in V(G)$ such that $f(z)=i>0$ and $d_{i}(x,z) eq d_{i}(y,z)$. The broadcast dimension, $bdim(G)$, of $G$ is the minimum of $c_f(G)=\sum_{v \in V(G)} f(v)$ over all resolving broadcasts of $G$, where $c_f(G)$ can be viewed as the total cost of the transmitters (of various strength) used in resolving the entire network described by the graph $G$. Note that $bdim(G)$ reduces to $adim(G)$ (the adjacency dimension of $G$, introduced by Jannesari and Omoomi in 2012) if the codomain of resolving broadcasts is restricted to $\{0,1\}$. We determine its value for cycles, paths, and other families of graphs. We prove that $bdim(G) = Ω(\log{n})$ for all graphs $G$ of order $n$, and that the result is sharp up to a constant factor. We show that $\frac{adim(G)}{bdim(G)}$ and $\frac{bdim(G)}{dim(G)}$ can both be arbitrarily large, where $dim(G)$ denotes the metric dimension of $G$. We also examine the effect of vertex deletion on the adjacency dimension and the broadcast dimension of graphs.

연구 동기 및 목표

• 송신기의 전송 전력 수준이 다를 수 있는 네트워크 해상도를 모델링하는 새로운 그래프 파라미터인 브로드캐스트 차원을 정식화하고 연구하기.
• 경로, 사이클, 트리와 같은 기본적인 그래프 가족에 대한 브로드캐스트 차원을 결정하기.
• 브로드캐스트 차원, 인접 차원, 표준 메트릭 차원 간의 관계를 분석하기.
• 정점 제거가 브로드캐스트 차원과 인접 차원에 미치는 영향을 조사하기.
• 알고리즘 복잡성, 특히 다항 시간 알고리즘의 존재 여부와 최소 해상도 브로드캐스트의 열거를 탐색하기.

제안 방법

• 각 정점 v에서의 송신기 전력 f(v)를 나타내는 해상도 브로드캐스트 함수 f: V(G) → ℤ⁺ ∪ {0}를 정의한다.
• 한정된 범위의 송신기를 모델링하기 위해 dₖ(x,y) = min{d(x,y), k+1}를 도입한다.
• 모든 해상도 브로드캐스트 f에 대해 총 비용 ∑f(v)의 최소값으로 브로드캐스트 차원 bdim(G)을 정의한다.
• 조합론적 및 극한 그래프 이론을 사용하여 bdim(G)의 하한 및 상한을 유도한다.
• 경로, 사이클, 트리와 같은 그래프의 구조적 성질을 분석하여 bdim(G)의 정확한 값을 계산한다.
• 모든 최소 비용 해상도 브로드캐스트를 2^O(n) 시간 내에 열거하는 알고리즘을 구축한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 그래프 G가 dim(G) = bdim(G)를 만족하는가?
• RQ2 어떤 그래프 G가 bdim(G) = adim(G)를 만족하는가?
• RQ3 bdim(G) = k 이고 adim(G) = 2^Ω(k)일 수 있는 그래프가 존재하는가?
• RQ4 모든 트리 T에 대해 bdim(T)와 adim(T)의 값은 무엇인가?
• RQ5 모든 그래프 G에 대해 bdim(G)를 계산하는 다항 시간 알고리즘이 존재하는가?

주요 결과

• 모든 순서 n인 그래프에 대해 브로드캐스트 차원은 Ω(log n)으로 하한이 있으며, 이 하한은 상수 인자까지 정확하다.
• bdim(G)/dim(G) 및 adim(G)/bdim(G) 비율은 모두 임의로 크게 될 수 있으며, 이는 브로드캐스트 차원이 메트릭 차원이나 인접 차원보다 훨씬 작아질 수 있음을 보여준다.
• 사이클과 경로에 대해 브로드캐스트 차원의 정확한 값을 결정하였다: bdim(C_n) = Θ(log n), bdim(P_n) = Θ(log n).
• 정점 제거 시 인접 차원은 1 증가하지만 브로드캐스트 차원은 1 이상 증가하는 그래프가 존재하며, 이는 서로 다른 내성 특성을 나타낸다.
• 모든 최소 해상도 브로드캐스트를 2^O(n) 시간 내에 나열하는 알고리즘이 존재하며, 이는 특정 그래프 가족에 대해 지수적 하한이 존재하므로 최악의 경우에 최적이다.
• 그래프의 브로드캐스트 차원은 그 인접 차원보다 엄격히 작을 수 있으며, 그 격차는 임의로 커질 수 있다.