[논문 리뷰] BSDEs driven by $|z|^2/y$ and applications to PDEs and decision theory

Khaled Bahlali, Ludovic Tangpi|arXiv (Cornell University)|2018. 10. 12.

Stochastic processes and financial applications인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 $\pm|z|^2/y$ 형태의 특이 생성자와 함께 후행 확률 미분 방정식(BSDEs)의 존재성과 유일성을 확립하여 특이 PDE 및 의사결정 이론 모델에 대한 확률적 해를 가능하게 한다. 주요 기여는 가치 과정에서의 특이성을 다룰 수 있도록 고전적 BSDE 이론을 확장한 새로운 확률적 방법으로, 특히 $|\nabla v|^2/v$ 항을 포함한 PDE의 점성 해 및 금융에서의 비-마르코프 확률 미분 유용성에 특히 적용 가능하다.

ABSTRACT

Existence and uniqueness is established for a large class of backward stochastic differential equations which contain singular terms of the form $\\pm|z|^2/y$. The results are applied to investigate singular partial differential equations (PDEs) and to decision theory problems that cannot be studied using classical regular BSDEs. The application to PDEs concerns the existence of viscosity solutions to PDEs containing a singular term of the form $\\pm|\ abla v|^2/v$ with rather weak assumptions on the regularity of the coefficients. Such PDEs with singularity in the value process appear in several applications in physics and economics. Regarding the application to decision theory, on the one hand, we use singular BSDEs to solve portfolio optimization problems with logarithm and power utility and non-trivial terminal endowment. Moreover, we derive existence and uniqueness of the general version of the non-Markovian Kreps-Porteus stochastic differential utility defined by Duffie and Lions [17] and constructed, in the Markovian case using PDE arguments by Duffie and Lions [19].

연구 동기 및 목표

• 특이 생성자 $\pm|z|^2/y$를 가진 후행 확률 미분 방정식(BSDEs)을 해결하기 위한 확률적 프레임워크를 개발하는 것. 여기서 특이성은 $y \to 0$일 때 발생한다.
• 생성자가 리프시츠 또는 유계가 아닐 경우, 특히 특이 PDE 및 의사결정 이론에의 응용을 고려하여 고전적 BSDE 이론을 확장하는 것.
• 계수에 대한 약한 정규성 조건 하에서 $\pm|\nabla v|^2/v$ 특이 항을 포함한 포물형 PDE의 점성 해에 대한 확률적 표현을 제공하는 것.
• 표준 2차 BSDEs로는 해결이 어려운, 로그 및 거듭제곱 유용성 함수와 비영인 종료 보유자산을 가진 포트폴리오 최적화 문제를 해결하는 것.
• 이전에는 PDE 방법을 통해 마르코프 형태로만 알려져 있던 일반적인 비-마르코프 크립스-포르티우스 확률 미분 유용성의 존재성과 유일성을 확립하는 것.

제안 방법

• 저자들은 특이 BSDE를 정규 형태로 변환하기 위해 측도 전환 및 시간 전환 기법을 도입하여, 표준 BSDE 이론의 존재성 및 유일성 결과를 적용할 수 있도록 한다.
• 해결책의 행동을 제어하기 위해 지배 조건과 $(D)$ 성질을 활용하여, 특히 $Y_t$ 및 $1/Y_t$ 근처에서의 행동을 제어한다.
• 사전 추정 및 균일 적분 가능성 논증을 통해 근사 수열의 수렴을 증명하며, 종료 조건 $\xi$에 대한 약한 적분 가능성 조건 하에서도 적용 가능하다.
• PDE의 해에 대한 확률적 표현을 활용하여, BSDE 해가 관련된 PDE의 점성 해와 연결되도록 한다.
• 경로별 유일성 및 약한 수렴 기법을 활용하여 한계 과정의 수렴 법 및 경로별 불가분성의 수렴을 확립한다.
• 스코로호드의 표현 및 타이트니스 논증을 활용하여 반사 및 국소 시간을 포함한 SDE에 대한 프레임워크를 적용하고, 약한 조건 하에서도 해의 수렴을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 종료 조건 $\xi$에 대해 약한 적분 가능성 조건이 만족될 때, 생성자가 $H(y,z) = \pm|z|^2/y$인 BSDE에 대해 존재성과 유일성을 확립할 수 있는가?
• RQ2 이러한 BSDE가 $\pm|\nabla v|^2/v$ 특이 항을 포함한 PDE의 점성 해에 대한 확률적 표현을 제공할 수 있는가?
• RQ3 이 프레임워크는 로그 또는 거듭제곱 유용성 함수와 비영인 종료 보유자산을 가진 포트폴리오 최적화 문제를 해결할 수 있는가? 이는 고전적 2차 BSDE로는 해결이 불가능하다.
• RQ4 일반적인 비-마르코프 크립스-포르티우스 확률 미분 유용성을 확률적 BSDE 접근법을 통해 구성할 수 있는가?
• RQ5 이러한 특이 BSDE의 해에 대해 존재성과 유일성을 보장하는 데 필요한 계수의 최소 정규성 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 종료 조건 $\xi > 0$ a.s. 이고 $\mathbb{E}[|\xi|^3] < \infty$ 라면, BSDE $Y_t = \xi + \int_t^T \frac{|Z_u|^2}{Y_u} du - \int_t^T Z_u dW_u$ 는 $\mathbb{E}[\sup_t |Y_t|^2] + \mathbb{E}[\int_0^T |Z_t|^2 dt] < \infty$ 를 만족하는 유일한 해를 가지며, $Y^3$ 이 $(D)$ 클래스에 속하는 해들 사이에서의 유일성이 보장된다.
• 종료 조건 $\xi < 0$ a.s. 이고 $\mathbb{E}[1/|\xi|] < \infty$ 라면, BSDE $Y_t = \xi - \int_t^T \frac{|Z_u|^2}{Y_u} du - \int_t^T Z_u dW_u$ 는 해를 가지며, $1/Y$ 가 $(D)$ 클래스에 속하는 해들 사이에서의 유일성이 보장된다; $\xi \in L^2$ 이면, 해는 $\mathcal{S}^2 \times \mathcal{H}^2$ 의미에서 유일하다.
• 이 방법은 계수와 $h$에 대해 약한 정규성 조건 하에서 $\partial_t v + \frac{1}{2}\Delta v + \delta \frac{|\nabla v|^2}{v} = 0$ 과 $v(T,x) = h(x)$ 를 만족하는 PDE의 점성 해에 대한 확률적 표현을 제공한다.
• 이 프레임워크는 로그 및 거듭제곱 유용성 함수와 비영인 종료 보유자산을 가진 포트폴리오 최적화 문제를 해결할 수 있으며, 이는 고전적 $|z|^2$ 생성자를 가진 BSDE로는 해결이 불가능하다.
• 논문은 일반적인 비-마르코프 크립스-포르티우스 확률 미분 유용성의 존재성과 유일성을 확립하여, 덤프와 리온스의 이전 PDE 기반 결과를 비-마르코프 경우로 확장한다.
• 근사 수열의 수렴은 타이트니스, 스코로호드의 표현 및 경로별 유일성에 의해 증명되며, 이는 수렴 법 및 한계의 경로별 불가분성을 보장한다.