[논문 리뷰] Bumpless Pipedreams, Reduced Word Tableaux and Stanley Symmetric Functions

Neil J. Y. Fan, Peter L. Guo외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 10. 29.

Advanced Combinatorial Mathematics참고 문헌 22인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 Lam, Lee, 및 Shimozono가 제기한 문제를 해결하면서, 순열 $w$에 대해 감소한 단어 표편과 EG-파이프드림 사이의 형태 유지 이항사상을 구축한다. 수정된 Lascoux-Sch"utzenberger 트리와 Edelman-Greene 트리 구조, Little 사상과 Edelman-Greene 삽입을 활용하여, 표편의 형태와 조합 구조를 유지하는 직접적인 대응 관계를 수립한다.

ABSTRACT

Lam, Lee and Shimozono introduced the structure of bumpless pipedreams in their study of back stable Schubert calculus. They found that a specific family of bumpless pipedreams, called EG-pipedreams, can be used to interpret the Edelman-Greene coefficients appearing in the expansion of a Stanley symmetric function in the basis of Schur functions. It is well known that the Edelman-Greene coefficients can also be interpreted in terms of reduced word tableaux for permutations. Lam, Lee and Shimozono proposed the problem of finding a shape preserving bijection between reduced word tableaux for a permutation $w$ and EG-pipedreams of $w$. In this paper, we construct such a bijection. The key ingredients are two new developed isomorphic tree structures associated to $w$: the modified Lascoux-Schützenberger tree of $w$ and the Edelman-Greene tree of $w$. Using the Little map, we show that the leaves in the modified Lascoux-Schützenberger of $w$ are in bijection with the reduced word tableaux for $w$. On the other hand, applying the droop operation on bumpless pipedreams also introduced by Lam, Lee and Shimozono, we show that the leaves in the Edelman-Greene tree of $w$ are in bijection with the EG-pipedreams of $w$. This allows us to establish a shape preserving one-to-one correspondence between reduced word tableaux for $w$ and EG-pipedreams of $w$.

연구 동기 및 목표

• 순열 $w$에 대해 감소한 단어 표편과 EG-파이프드림 사이의 직접적이고 형태 유지 이항사상을 구성하는 데 있어 열려 있는 문제를 해결한다.
• 일반 전이 관계를 기반으로 한 새로운 조합 구조—수정된 Lascoux-Sch"utzenberger 트리와 Edelman-Greene 트리—를 개발한다.
• Little 사상에 의해 수정된 LS-트리의 리프와 감소한 단어 표편 사이의 연결을 수립한다.
• 드루프 연산을 통해 빠짐없는 파이프드림에서 생성된 EG-트리의 리프가 $w$의 EG-파이프드림과 이항사상임을 보인다.
• 형태와 조합 유형을 유지하는 감소한 단어 표편과 EG-파이프드림 사이의 구성적이고 역행 가능한 사상 체계를 제공한다.

제안 방법

• 순열 $w$에 대한 수정된 Lascoux-Sch"utzenberger 트리(수정된 LS-트리)를 도입하며, 여기서 자식은 일반(최대가 아닌) 전이를 적용하여 생성된다.
• Little 사상을 사용하여 수정된 LS-트리의 각 리프를 $w$의 감소한 단어 표편과 연결함으로써 형태 유지 보장을 확보한다.
• Rothe 파이프드림으로부터 시작하여 빠짐없는 파이프드림에 대해 드루프 연산을 적용함으로써 $w$의 Edelman-Greene 트리(EG-트리)를 구성한다.
• 드루프 연산이 모든 그러한 파이프드림을 생성할 수 있음을 이용하여, EG-트리의 리프가 $w$의 EG-파이프드림과 이항사상임을 보인다.
• 열린 열의 열 읽기 단어와 역 $\theta$-연산에서 유도된 순열의 경로를 통해 감소한 단어 표편에서 EG-파이프드림으로의 사상 $\Gamma$를 정의한다.
• 파이프드림의 북서쪽 팔꿈치의 역순 단어에 대해 Edelman-Greene 삽입을 적용함으로써, EG-파이프드림에서 감소한 단어 표편으로의 역사상 $\widetilde{\Gamma}$를 정의한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 주어진 순열 $w$에 대해 감소한 단어 표편과 EG-파이프드림 사이의 직접적이고 형태 유지 이항사상이 존재하는가?
• RQ2 수정된 Lascoux-Sch"utzenberger 트리는 Little 사상과 함께 $w$의 감소한 단어 표편을 매개할 수 있는가?
• RQ3 $w$의 EG-파이프드림은 빠짐없는 파이프드림에 대한 드루프 연산으로 구성된 트리의 리프로서 생성될 수 있는가?
• RQ4 수정된 LS-트리와 EG-트리 사이의 대응이 기초가 되는 표편과 파이프드림의 형태를 유지하는가?
• RQ5 삽입 알고리즘과 역 전이 지도를 사용하여 이항사상의 역을 명시적으로 구성할 수 있는가?

주요 결과

• 저자들은 Lam, Lee, 및 Shimozono의 문제 1.1을 해결하면서, 임의의 순열 $w$에 대해 감소한 단어 표편과 EG-파이프드림 사이의 형태 유지 이항사상 $\Gamma$를 구성한다.
• 순열 $w$의 수정된 Lascoux-Sch"utzenberger 트리의 리프는 감소한 단어 표편과 이항사상이며, 이에 대한 대응은 Little 사상이 제공한다.
• 순열 $w$의 Edelman-Greene 트리의 리프는 빠짐없는 파이프드림에 대한 드루프 연산을 통해 생성된 EG-파이프드림과 이항사상이다.
• 사상 $\Gamma$는 역행 가능하며, 그 역사상 $\widetilde{\Gamma}$는 파이프드림의 북서쪽 팔꿈치의 역순 단어에 대해 Edelman-Greene 삽입을 통해 구성된다.
• 이 구성은 감소한 단어 표편의 형태가 해당하는 EG-파이프드림의 형태와 일치함을 보장하여 조합 구조를 유지한다.
• 수정된 LS-트리는 기존의 LS-트리와 달리 순열 크기의 과도한 증가를 방지하여 스탠리 대칭 함수의 전개에 더 제어 가능하다.