[論文レビュー] Discrete Torsion and Gerbes II

Eric Sharpe|ArXiv.org|Sep 16, 1999

Geometric and Algebraic Topology参考文献 48被引用数 30

ひとこと要約

この論文は、スタックとgerbeを用いて、軌道群作用を1-gerbeと接続に上げる際の曖昧性として、弦理論における離散的ねじれの幾何的導出を提供する。Gerbeと接続の同変構造の集合は、$ H^2(\tilde{\Gamma}, U(1)) $ を含む群の下でトロスをなすことを証明し、離散的ねじれをB場のための軌道型ウィルスン線に類似した、第一原理的な幾何的解釈として提示する。

ABSTRACT

In a previous paper we outlined how discrete torsion can be understood geometrically as an analogue of orbifold U(1) Wilson lines. In this paper we shall prove the remaining details. More precisely, in this paper we describe gerbes in terms of objects known as stacks (essentially, sheaves of categories), and develop much of the basic theory of gerbes in such language. Then, once the relevant technology has been described, we give a first-principles geometric derivation of discrete torsion. In other words, we define equivariant gerbes, and classify equivariant structures on gerbes and on gerbes with connection. We prove that in general, the set of equivariant structures on a gerbe with connection is a torsor under a group which includes H^2(G,U(1)), where G is the orbifold group. In special cases, such as trivial gerbes, the set of equivariant structures can furthermore be canonically identified with the group.

研究の動機と目的

• 物理的仮定に依存しない、第一原理的な幾何的理解を提供すること。
• Gerbe理論を、層（カテゴリの層）としてのスタックを用いて基礎づけること。
• GerbeおよびGerbeと接続の同変構造を分類すること、特に軌道群作用の文脈において。
• 離散的ねじれと、群作用をGerbeと接続に上げることの障害との間の明確な対応を確立すること。
• 以前の主張を是正・精錬し、同変構造の空間が $ H^2(\Gamma, U(1)) $ に等しいとは限らないが、それを含む群の下でトロスをなすこと、すなわち同変構造の空間がこのより大きな群の下でトロスをなすことを示すこと。

提案手法

• Gerbeをスタック（カテゴリの層）として形式化することで、B場を1-gerbeの接続として幾何的言語で記述する。
• 関手 $ \Phi_g: g^*\mathcal{C} \to \mathcal{C} $ と可逆な2-射 $ \psi_{g_1,g_2} $ を用いて同変Gerbeを定義し、整合性条件を満たす。
• スタックとGerbeの引き戻しおよび降下理論を用いて、同変構造の分析と分類を行う。
• 空間 $ M $ 上のGerbeとそのループ空間 $ LM $ 上のバンドルとの関係を関係づけ、同変構造は $ LM $ 上の同変バンドルと接続に対応する。
• ループ空間上のゲージ変換を分析し、$ M $ 上のGerbeから生じるゲージ変換は、常に自明な定数変換に限られることを示し、複数のGerbe構造が同じループ空間構造をもたらす可能性があることを示唆する。
• 層コホホロジーおよび非アーベルコホモロジーの技法を用いて、同変Gerbeおよびその接続の分類を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 離散的ねじれは、軌道型生成関数における現象的曖昧性としてではなく、どのように幾何学的に理解できるか？
• RQ2 軌道群作用をGerbeと接続に上げる際の可能な方法を分類する、正確な数学的構造は何か？
• RQ3 同変Gerbeの分類は、コホモロジー群 $ H^2(\Gamma, U(1)) $ とどのように関係するか？
• RQ4 なぜ、同変構造の空間が直接 $ H^2(\Gamma, U(1)) $ に等しいと主張した以前の主張は是正が必要か？
• RQ5 ループ空間の構成は、基本空間上の同変Gerbeの分類を検証または制限するためにどの程度有効か？

主な発見

• Gerbeと接続の同変構造の集合は、$ H^2(\Gamma, U(1)) $ を含む群の下でトロスをなすが、それと必ずしも等しいとは限らない。
• 離散的ねじれは、軌道群作用を1-gerbeと接続に上げることの幾何的障害として生じる。これは、線形バンドルのウィルスン線が生じるのと類似している。
• 同変Gerbeは、整合性法則を満たす関手 $ \Phi_g $ と2-射 $ \psi_{g_1,g_2} $ によって分類され、同変ベクトルバンドルの一般化である。
• ループ空間 $ LM $ 上では、$ M $ 上のGerbeから生じるゲージ変換は、常に自明な定数変換に限られる。これは、複数のGerbe構造が同じバンドル構造を $ LM $ 上に誘導しうることを示唆する。
• 分析により、同変構造の差は $ H^2(\Gamma, U(1)) $ では完全に記述されず、以前に無視されていた追加の自由度が存在することが明らかになった。
• 本論文は、以前の主張を是正し、$ H^2(\Gamma, U(1)) $ が関連する群の部分群であるが、障害の全群はより大きく、同変構造の空間がこのより大きな群の下でトロスをなすことを示した。