[論文レビュー] THE BASIC GERBE OVER A COMPACT SIMPLE LIE GROUP

Eckhard Meinrenken|arXiv (Cornell University)|Sep 16, 2002

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 17被引用数 27

ひとこと要約

本稿は、コンjugacy類と中心拡大を活用して、コンパクトで単連結かつ単純なリー群 G 上に、等変バンドルゲーブルの新しいグルーピング構成を用いて、基本的な等変ゲーブルと接続を構成する。これは、前例の SU(N) への拡張を、すべてのこのような群へと一般化し、同型類の障害を新しいグルーピング則によって解消する。$ H^3_G(G,\bbZ) $ の生成子の有限次元的で明示的な実現を与える。

ABSTRACT

Let $G$ be a compact, simply connected simple Lie group. We give a construction of an equivariant gerbe with connection on $G$, with equivariant 3-curvature representing a generator of $H^3_G(G,\Z)$. Technical tools developed in this context include a gluing construction for gerbes and a theory of equivariant bundle gerbes.

研究の動機と目的

• 任意のコンパクトで単連結かつ単純なリー群 G 上に、接続と共役作用に関する等変性を備えた、明示的かつ有限次元的な基本ゲーブルの構成を提供すること。
• Gaw{\'e}dzki-Reis の構成を SU(N) から一般のコンパクト単純リー群に拡張する際の障害を解消すること。特に、ゲーブルを共役類に引き戻したとき、その同型類が自明でない場合の障害を処理すること。
• 共役類に deformation する不変開被覆上に定義されたゲーブルを一貫して貼り合わせることを可能にする、等変バンドルゲーブルのための新しいグルーピング構成を開発すること。
• $ H^3_G(G,\bbZ) $ の生成子の 3-曲率を、幾何的・微分幾何的構成により、双不変 3-形式として実現すること。

提案手法

• G の不変開被覆 $ \{V_j\} $ を定義し、各 $ V_j $ が、最大ランクの中心化群をもつ半単純元に対応する共役類 $ \mathcal{C}_j $ に等変に再び収縮するようにする。
• 各 $ \mathcal{C}_j $ に対して、半単純中心化群の $ \mathrm{U}(1) $ による中心拡大を用いて等変バンドルゲーブルを構成し、引き戻しにより $ V_j $ 上のゲーブルを誘導する。
• 被覆の構造と再び収縮写像の性質を用いて、三重被覆での整合性を保証する、等変バンドルゲーブルのための新しいグルーピング則を開発する。
• 得られたゲーブルの 3-曲率が、双不変 3-形式 $ \eta \in \Omega^3(G) $ であることを用い、これは $ H^3(G,\bbZ) $ の生成子を表す。
• 等変 3-曲率 $ \eta_G \in \Omega^3_G(G) $ が閉形式であり、$ H^3_G(G,\bbZ) \cong \bbZ $ の生成子を表すことを確立する。
• 誤差形式を伴う擬似ラインバンドルの理論を活用して、共役類の前量子化を分析し、ゲーブル曲率と随伴軌道上のシンプレクティック形式との関連を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般のコンパクトで単連結かつ単純なリー群 G 上に、SU(N) の場合を越えて、明示的かつ有限次元的に基本ゲーブルを構成する方法は何か？
• RQ2 共役類への引き戻しが自明でない場合、標準的移行ラインバンドルを基本ゲーブルに用いる際の障害は何か？
• RQ3 共役類に deformation する不変開集合上に定義されたゲーブルを一貫して貼り合わせるための、等変バンドルゲーブルのためのグルーピング構成を構築可能か？
• RQ4 構成されたゲーブルの 3-曲率は、G 上の標準的双不変 3-形式および等変コホモロジー類とどのように関係するか？
• RQ5 半単純中心化群の中心拡大は、共役類上での等変ゲーブルの構成において果たす役割は何か？

主な発見

• 本稿は、任意のコンパクトで単連結かつ単純なリー群 G 上に、明示的かつ有限次元的で、等変性を備えたバンドルゲーブルを構成し、$ H^3_G(G,\bbZ) \cong \bbZ $ の生成子を表す 3-曲率を有する。
• SU(N) のアプローチを一般化する障害を、軌道への自明な引き戻しに依存しない、等変バンドルゲーブルの新しいグルーピング則を用いることで克服した。
• $ V_j $ の各々は、共役類 $ \mathcal{C}_j $ に等変に再び収縮し、半単純中心化群の $ \mathrm{U}(1) $ による中心拡大から、$ \mathcal{C}_j $ 上で等変バンドルゲーブルが得られ、結果として $ V_j $ 上でも得られる。
• G 上の結果のゲーブルは、等変 3-曲率形式 $ \eta_G $ を持ち、それが閉形式であり、$ H^3_G(G,\bbZ) $ の生成子を表すことが示された。
• 擬似ラインバンドルを用いた前量子化の分析により、曲率条件が重みの整数性を示し、表現論と関連することがわかった。
• グルーピング構成は、閉包が互いに交わらない開集合 $ U_I $ の帰納的構成により証明され、結果として得られる $ V_i' $ は $ \overline{V_i'} \subset V_i $ を満たす被覆をなす。