[논문 리뷰] Busemann functions and barrier functions

Xiaojun Cui, Jian Cheng|arXiv (Cornell University)|2013. 12. 15.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 15인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 매끄럽고 완비되며 비유한 Riemannian 다양체 위에서 Busemann 함수가 해밀턴-자비 방정식 |∇u|_g = 1의 점성 해(solution)임을 증명하며, 이는 국소적으로 선형 모듈러스를 가진 준볼록임을 의미한다. 또한 Mather 이론의 유사체로 장벽 함수를 도입하고, 이를 통해 지선을 부분순서로 분류하며, 수평함수와 dl-함수를 통해 이러한 구조를 이상경계와 연결한다.

ABSTRACT

We show that Busemann functions on a smooth, non-compact, complete, boundaryless, connected Riemannian manifold are viscosity solutions with respect to the Hamilton-Jacobi equation determined by the Riemannian metric and consequently they are locally semi-concave with linear modulus. We also analysis the structure of singularity sets of Busemann functions. Moreover we study barrier functions, which are analogues to Mather's barrier functions in Mather theory, and provide some fundamental properties. Based on barrier functions, we could define some relations on the set of lines and thus classify them. We also discuss some initial relations with the ideal boundary of the Riemannian manifold.

연구 동기 및 목표

• 곡률 가정 없이 일반적인 Riemannian 다양체 위에서 Busemann 함수의 점성 해 성질을 확립하기 위해.
• Busemann 함수의 특이점 집합을 분석하고 그 기하학적 의미를 규명하기 위해.
• Lagrangian 역학에서 Mather의 장벽 함수와 유사한 장벽 함수를 도입하고 연구하기 위해.
• 장벽 함수를 이용해 지선 집합에 대한 부분순서를 정의하고 기하학적 분류를 탐색하기 위해.
• 수평함수와 dl-함수를 통해 Busemann 함수 및 장벽 함수의 구조를 다양체의 이상경계와 연결하기 위해.

제안 방법

• 거리 함수의 극한으로서 Busemann 함수의 정의를 사용: b_γ(x) = lim_{t→∞} [d(x,γ(t)) − t].
• 거리 함수와의 비교를 통해 Busemann 함수가 점성 의미에서 해밀턴-자비 방정식 |∇u|_g = 1를 만족함을 증명.
• 점성 해 이론을 적용하여 선형 모듈러스를 가진 국소 준볼록성을 유도.
• 장벽 함수 B_γ(x)를 x에서 출발하는 射선들에 沿해 b_γ의 최소값으로 정의하고, 이를 통해 지선 γ′ ≺ γ의 관계를 정의.
• 관계 γ′ ≺ γ를 통해 지선 집합에 대한 부분순서를 구성하고, 의사거리 d_γ(γ₁,γ₂) = B_γ₁(γ₂(0)) + B_γ₂(γ₁(0))를 정의.
• 결과를 수평함수와 dl-함수로 확장하여, 이들 역시 동일한 점성 방정식을 만족하고 준볼록임을 보임.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반적인 완비되고 비유한 Riemannian 다양체 위에서 Busemann 함수는 해밀턴-자비 방정식 |∇u|_g = 1의 점성 해인가?
• RQ2 Busemann 함수의 특이점 집합의 구조는 무엇이며, 다양체의 기하학과 어떻게 관련되는가?
• RQ3 장벽 함수를 이용해 Riemannian 다양체 위의 지선에 대한 의미 있는 분류나 순서를 정의할 수 있는가?
• RQ4 Busemann 함수와 장벽 함수는 수평함수와 dl-함수를 통해 이상경계와 어떻게 연결되는가?
• RQ5 모든 |∇u|_g = 1의 점성 해는 반드시 dl-함수인가?

주요 결과

• 매끄럽고 완비되며 비유한 경계가 없는 연결된 Riemannian 다양체 위의 모든 Busemann 함수는 해밀턴-자비 방정식 |∇u|_g = 1의 점성 해이다.
• 그 결과로, Busemann 함수는 곡률 조건과 무관하게 국소적으로 선형 모듈러스를 가진 준볼록이다.
• Busemann 함수의 특이점 집합은 관련된 射선의 컷로커스에 포함되며, 이 구조는 공액점 또는 초점점의 존재와 관련되어 있다.
• 장벽 함수 B_γ(x)는 잘 정의되고 유한하며, 모든 x에서 γ로 향하는 반사선 γ′에 대해 B_γ(x) = inf_{γ′} b_γ(γ′(0))를 만족한다.
• 장벽 함수를 통해 정의된 관계 γ′ ≺ γ는 추이적이며 지선 집합에 대한 부분순서를 정의하며, 지선의 분류를 가능하게 한다.
• 의사거리 d_γ(γ₁,γ₂) = B_γ₁(γ₂(0)) + B_γ₂(γ₁(0))는 γ₁ ∼ γ₂일 때이고 그때에만 0이 된다 (즉, 부분순서에 의해 생성된 동치관계 하에서 동치인 경우).