[논문 리뷰] $C^*$-algebras associated with the $ax+b$-semigroup over $\mathbb N$

Joachim Cuntz|ArXiv.org|2006. 11. 17.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 3인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 자연수 위의 $ax+b$-semigroup과 관련된 순수하게 무한한 단순 C*-대수 $\mathcal{Q}_{\mathbb{N}}$를 제안한다. 이는 Bost-Connes 대수에 추가 이동을 표현하기 위해 유니터리 생성자를 추가하여 구성되며, 유한 아델스 위의 연속 함수가 무한히 사라지는 공간에 대한 $ax+b$-군 $\mathbb{Q}$에 의한 교차곱과 동형임이 보여지고, $K$-이론이 계산되며 그 생성자는 소수와 연결된다.

ABSTRACT

We present a $C^*$-algebra which is naturally associated to the $ax+b$-semigroup over $\mathbb N$. It is simple and purely infinite and can be obtained from the algebra considered by Bost and Connes by adding one unitary generator which corresponds to addition. Its stabilization can be described as a crossed product of the algebra of continuous functions, vanishing at infinity, on the space of finite adeles for $\mathbb Q$ by the natural action of the $ax+b$-group over $\mathbb Q$.

연구 동기 및 목표

• 자연수 위의 $ax+b$-semigroup과 자연스럽게 관련된 $C^*$-대수를 구성함으로써, Bost-Connes 대수에 추가 이동을 통합함으로써 확장한다.
• 등급이스메트리와 유니터리 생성자에 대한 보편 관계를 통해 유도된 $\mathcal{Q}_{\mathbb{N}}$의 단순성과 순수하게 무한한 성질을 입증한다.
• $\mathcal{Q}_{\mathbb{N}}$를 $\mathbb{Q}$에 대한 Bunce-Deddens 대수와 $\mathbb{N}^\times$에 의한 교차곱으로 묘사하고, 그 안정화가 $\mathcal{C}_0(\mathbb{A}_f)$와 $\mathbb{Q}$ 위의 $ax+b$-군에 의한 교차곱과 동형임을 보인다.
• 곱셈 semigroup을 $\mathbb{Z}^\times$로 확장했을 때의 유사한 구성법을 조사하여, 이중 대칭성을 지닌 $C^*$-대수 $\mathcal{Q}_{\mathbb{Z}}$를 얻고, $K$-이론의 부호가 이동함을 보인다.
• $\mathcal{Q}_{\mathbb{N}}$와 $\mathcal{Q}_{\mathbb{Z}}$의 $K$-이론을 계산하고, 소수와 그 분포가 대수적 구조에 어떻게 연결되는지 밝힌다.

제안 방법

• $\mathcal{Q}_{\mathbb{N}}$를 자연수 $\mathbb{N}^\times$에 대한 등급이스메트리 $s_n$과 유니터리 $u$로 생성되는 보편 $C^*$-대수로 정의한다. 이들 사이에 $s_n s_m = s_{nm}$, $s_n u = u^n s_n$, 그리고 $\sum_{k=0}^{n-1} u^k e_n u^{-k} = 1$ (여기서 $e_n = s_n s_n^*$)라는 관계가 성립한다.
• $\ell^2(\mathbb{N})$ 위에 이동 연산자 $v^k$와 곱셈 연산자 $s_n$을 사용하여 $ax+b$-semigroup의 표준 표현을 구성한다. 이들 사이에 $s_n v^k = v^{nk} s_n$이라는 관계가 성립한다.
• 이 연산자들로 생성되는 $C^*$-대수의 몫을 취함으로써 $\mathcal{Q}_{\mathbb{N}}$를 얻고, 컴팩트 연산자를 인한 조건을 통해 덧셈 생성자의 유니터리 성질을 강제한다.
• $\mathcal{Q}_{\mathbb{N}}$가 $\mathbb{A}_f$ 위의 연속 함수가 무한히 사라지는 공간에 대한 $P^{+}_{\mathbb{Q}}$에 의한 교차곱과 동형임을 보인다. 여기서 $\mathbb{A}_f$는 유한 아델스 공간이고, $P^{+}_{\mathbb{Q}}$는 $\mathbb{Q}$ 위의 $ax+b$-군이다.
• $\mathcal{Q}_{\mathbb{N}}$의 안정화를 분석하고, $\mathcal{C}_0(\mathbb{R})$와 $P^{+}_{\mathbb{Q}}$에 의한 교차곱과 동형임을 보여, 유한 아델스와 무한 아델스 사이의 이중성을 입증한다.
• $\mathcal{Q}_{\mathbb{Z}}$의 경우, 곱셈 부분에 음의 정수를 포함하도록 구성법을 확장하여 $\mathcal{Q}_{\mathbb{N}}$에 대한 $\mathbb{Z}/2$-교차곱을 형성하고, $C^*(D)$, 즉 무한 이면군의 군 $C^*$-대수를 이용한 행렬 대수의 인도적 극한을 통해 $K$-이론을 계산한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 자연수 위의 $ax+b$-semigroup과 자연스럽게 관련된 $C^*$-대수를 어떻게 구성할 수 있으며, 곱셈과 덧셈의 구조를 모두 포함시킬 수 있는가?
• RQ2 $\mathcal{Q}_{\mathbb{N}}$는 교차곱으로서 어떤 구조를 가지며, Bost-Connes 대수와 아델스 링 $\mathbb{A}_f$와 어떻게 관련되는가?
• RQ3 $\mathcal{Q}_{\mathbb{N}}$의 $K$-이론은 무엇이며, 그 생성자는 소수와 어떻게 관련되는가?
• RQ4 곱셈 semigroup을 $\mathbb{Z}^\times$로 확장했을 때 구성법은 어떻게 변화하며, 그 결과로 얻어지는 $\mathcal{Q}_{\mathbb{Z}}$의 $K$-이론은 무엇인가?
• RQ5 표준 일차 파라미터 군과 고정점 대수의 역할은 $\mathcal{Q}_{\mathbb{Z}}$의 구조에서 어떻게 작용하는가?

주요 결과

• $\mathcal{Q}_{\mathbb{N}}$는 순수하게 무한하고 단순한 $C^*$-대수로, 덧셈 생성자의 유니터리 성질을 강제하는 관계를 통해 $ax+b$-semigroup $C^*$-대수의 몫으로 유도된다.
• $\mathcal{Q}_{\mathbb{N}}$는 $\mathbb{Q}$에 대한 Bunce-Deddens 대수와 $\mathbb{N}^\times$에 의한 교차곱과 동형이며, 그 안정화는 $\mathcal{C}_0(\mathbb{A}_f) \rtimes P^{+}_{\mathbb{Q}}$와 동형이다.
• $\mathcal{Q}_{\mathbb{N}}$의 $K$-이론은 $K_0(\mathcal{Q}_{\mathbb{N}}) = \mathbb{Z}^\infty$ 및 $K_1(\mathcal{Q}_{\mathbb{N}}) = \mathbb{Z}^\infty$이며, 생성자는 소수에 의해 결정된다.
• $\mathcal{Q}_{\mathbb{N}}$의 안정화는 $\mathcal{C}_0(\mathbb{R}) \rtimes P^{+}_{\mathbb{Q}}$와도 동형이 되며, 이는 유한 아델스와 무한 아델스 사이의 이중성을 보여준다.
• $\mathcal{Q}_{\mathbb{Z}}$의 경우, $K$-이론은 $K_0(\mathcal{Q}_{\mathbb{Z}}) = \mathbb{Z}^\infty$ 및 $K_1(\mathcal{Q}_{\mathbb{Z}}) = \mathbb{Z}^\infty$이며, $\mathbb{Z}/2$-작용으로 인해 $K_0$와 $K_1$ 사이에 부호 이동이 발생한다.
• $\mathcal{Q}_{\mathbb{Z}}$의 표준 일차 파라미터 군의 고정점 대수는 이면군의 대칭성과 유사한 Bunce-Deddens 대수의 버전이며, $K$-이론은 대칭의 스펙트럼 프로젝션과 $fuf = u^*$를 만족하는 유니터리에 의해 생성된다.