[논문 리뷰] $C^*$-algebras of inverse semigroups: amenability and weak containment

David Milan|ArXiv.org|2006. 10. 10.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 14인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 약한 포함(weak containment)이 역반군(inverse semigroup)에 대해 적절한 아메니티비티의 개념임을 확립한다. 즉, 역반군 $S$가 약한 포함을 가질 조건은 그 최대 군 준동형 상이 아메니티브이고, 커널이 $C^*$-등장적(C^*\text{-isometric})이며 약한 포함을 가질 때임을 보여준다. 이는 군에 의한 그레이딩을 통해 영을 포함하는 역반군으로까지 확장되며, 그래프 역반군과 니카의 $\tau_{G,P}$ 반군이 그에 대응하는 군 또는 준격자 순서쌍(quasi-lattice order)이 아메니티브일 때에만 약한 포함을 가짐을 증명한다.

ABSTRACT

We argue that weak containment is an appropriate notion of amenability for inverse semigroups. Given an inverse semigroup $S$ and a homomorphism $ϕ$ of $S$ onto a group $G$, we show, under an assumption on $\ker(ϕ)$, that $S$ has weak containment if and only if $G$ is amenable and $\ker(ϕ)$ has weak containment. Using Fell bundle amenability, we find a related result for inverse semigroups with zero. We show that all graph inverse semigroups have weak containment and that Nica's inverse semigroup $\mcT_{G,P}$ of a quasi-lattice ordered group $(G,P)$ has weak containment if and only if $(G,P)$ is amenable.

연구 동기 및 목표

• 역반군에 대해 약한 포함이 아메니티비티의 강력한 군론적 대응 개념이 되도록 확립하기 위해.
• 특히 영이나 무한한 아이디포텐트 집합을 가진 경우 기존의 아메니티비티 개념이 실패하는 문제점을 해결하기 위해.
• 군에 의한 그레이딩과 펠 번들 아메니티비티를 활용하여 영을 포함하는 역반군으로 약한 포함의 특성화를 확장하기 위해.
• 그래프 역반군과 니카의 $\tau_{G,P}$ 반군이 그에 대응하는 군 또는 순서쌍이 아메니티브일 때에만 약한 포함을 가짐을 증명하기 위해.

제안 방법

• 약한 포함을 $C^*(S)$와 $C^*_r(S)$ 간의 동형사상으로 정의하기 위해, $C^*$-대수 $C^*(S)$와 축소된 $C^*$-대수 $C^*_r(S)$를 사용한다.
• 모든 $g \notin H$에 대해 $\norm{g}_{C^*(S)} = \norm{g}_{C^*(H)}$를 만족하는 $C^*$-등장적(subsemigroup) $H$의 개념을 도입하여, 노름의 일致성(일致성)을 보장한다.
• 펠 번들 아메니티비티 이론을 적용하여 영을 포함하는 역반군으로 결과를 일반화하며, $\theta^{-1}(0) = \{0\}$ 조건을 만족하는 군에 의한 그레이딩 $\theta: S \to G^0$를 사용한다.
• 로우슨(Lawson)의 보편 그레이딩 구조를 활용하여 강한 $E^*$-유니터리 역반군을 정의함으로써, 영을 포함하는 경우에 대한 $E$-유니터리 반군의 일반화를 수행한다.
• 제약 사상 $\rho: \bbC S \to \bbC H$의 양성(positivity)을 사용하여 $C^*$-등장성을 확립하며, 특히 $H = E(S)$ 또는 각 피브어 $S_g = s_g H$ ($g \ne 1_G$)일 경우에 적용한다.
• 엑셀(Exel) 및 다른 이들의 펠 번들 아메니티비티 결과를 적용하여, 그래프 역반군과 $\tau_{G,P}$ 반군이 그에 대응하는 구조가 아메니티브일 때에만 약한 포함을 가짐을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 표준적인 개념이 영이나 무한한 아이디포텐트 집합으로 인해 실패하는 경우, 약한 포함이 역반군에 대해 아메니티비티의 적절한 일반화인가?
• RQ2 최대 군 준동형 사상 $\theta: S \to G$ 가 존재하고, $G$ 가 아메니티브이며 $\theta^{-1}(1_G)$ 가 $C^*$-등장적일 때, 역반군 $S$ 가 약한 포함을 가질 조건은 무엇인가?
• RQ3 영을 포함하는 역반군에 대해, 군 준동형 상이 자명한 경우 약한 포함 개념을 어떻게 확장할 수 있는가?
• RQ4 그래프 역반군과 니카의 $\tau_{G,P}$ 반군이 그에 대응하는 군 또는 순서쌍이 아메니티브일 때에만 약한 포함을 가짐을 증명할 수 있는가?
• RQ5 제약 사상 $\rho: \bbC S \to \bbC H$ 가 양성임을 보장하는 조건은 무엇이며, 이는 $C^*$-등장성과 약한 포함과 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• 역반군 $S$ 가 약한 포함을 가질 조건은 그 최대 군 준동형 상 $G(S)$ 가 아메니티브이고, 커널 $\text{ker}(\theta)$ 가 $C^*$-등장적이며 약한 포함을 가져야 하며, 이는 $C^*$-등장성 조건 하에서 성립한다.
• $E$-유니터리 역반군의 경우, 약한 포함은 최대 군 이미지가 아메니티브일 때에만 성립하며, 이는 기존의 $E$-유니터리 클리포드 반군에 대한 결과를 일반화한다.
• 그래프 역반군은 강한 $E^*$-유니터리이며 보편 그레이딩이 자유로우므로, 관련된 펠 번들이 아메니티브이므로 약한 포함을 가진다.
• 니카의 역반군 $\tau_{G,P}$ 는 쿼드라틱 래티스 순서쌍 $(G,P)$ 가 니카의 뜻에서 아메니티브일 때에만 약한 포함을 가진다.
• 제약 사상 $\rho: \bbC S \to \bbC H$ 는 $H = E(S)$ 이거나 각 피브어 $S_g$ 가 $s_g H$ 의 형태일 때에 양성이며, 이는 $H$ 가 $S$ 에서 $C^*$-등장적임을 의미한다.
• 브럭-라이리 확장 $BR(G,\theta)$ 는 그룹 $G$ 가 아메니티브일 때에만 약한 포함을 가진다. 왜냐하면 커널이 모든 최대 부분군이 $G$ 와 동형인 클리포드 $\rho$-반군이기 때문이다.