[논문 리뷰] C*-algebras of labelled graphs

Teresa Bates, David Pask|ArXiv.org|2005. 03. 18.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 26인용 수 41

한 줄 요약

이 논문은 레이블이 부여된 그래프의 C*-대수를 통합적인 프레임워크로 제안하며, 초우르트그래프 대수와 Matsumoto의 시프트 공간 C*-대수를 일반화한다. 약한 왼쪽 해소 가능한 레이블 공간을 정의하고 게이지 불변 유일성 정리를 수립함으로써, 최소 왼쪽 해소 표현을 통한 비가역적 소피프 시프트에 대해 단순 C*-대수를 자연스럽게 부여할 수 있음을 보여주며, 다양한 시프트 대수 구축 방식 간의 비동형 문제를 해결한다.

ABSTRACT

We describe a class of $C^*$-algebras which simultaneously generalise the ultragraph algebras of Tomforde and the shift space $C^*$-algebras of Matsumoto. In doing so we shed some new light on the different $C^*$-algebras that may be associated to a shift space. Finally, we show how to associate a simple $C^*$-algebra to an irreducible sofic shift.

연구 동기 및 목표

• 초우르트그래프 대수와 Matsumoto의 시프트 공간 C*-대수를 동일한 프레임워크 아래 통합적으로 다루는 것.
• 다른 시프트 공간에서 유도된 O_Λ와 O_Λ* 간의 비동형 문제를 해결하기 위해, 이들이 비동형인 레이블 공간에서 유래한다는 것을 보여주는 것.
• 비가역적 소피프 시프트에 대해 최소 왼쪽 해소 표현을 사용하여 단순 C*-대수를 자연스럽게 부여하는 방법을 제공하는 것.
• 일부 레이블이 부여된 그래프의 C*-대수가 어떤 그래프 대수와도 모리타 동치가 아니라는 점을 보여주어, 레이블이 부여된 그래프의 C*-대수가 그래프 대수보다 엄밀히 더 큰 클래스를 이룬다는 것을 밝히는 것.

제안 방법

• 방향 그래프 E, 레이블링 π: E¹ → A, 그리고 정점 집합들의 집합 C ⊆ 2^{E⁰}로 구성된 레이블 공간 (E, π, C) 의 개념을 도입한다.
• 일반화된 Cuntz-Krieger 관계를 만족하는 부분 등이사 {s_a}와 프로젝션 {p_A}를 사용한 레이블 공간의 표현을 정의한다.
• C에 대해 약한 왼쪽 해소 조건을 도입하여, 유일한 C*-대수 C*(E, π, C) 가 존재하도록 보장한다.
• C*(E, π, C) 에 대해 게이지 불변 유일성 정리를 수립하여, 기존의 C*-대수와의 동형 결과를 가능하게 한다.
• 시프트 공간의 고차 블록 표현을 일반화하기 위해 쌍대 레이블 공간을 구성한다.
• 유일성 성질과 게이지 작용을 이용하여, 기저가 행렬 유한이고 C가 모든 싱글턴을 포함하는 경우, C*(E, π, C) ≅ C*(E) 인 것을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 초우르트그래프 대수와 Matsumoto의 시프트 공간 C*-대수는 동일한 대수적 프레임워크 아래 통합될 수 있는가?
• RQ2 어떤 시프트 공간에서는 O_Λ와 O_Λ* 가 비동형이 되는 이유는 무엇이며, 이는 레이블이 부여된 그래프로 설명될 수 있는가?
• RQ3 비가역적 소피프 시프트에 대해 단순 C*-대수를 자연스럽게 부여할 수 있으며, 만약 가능하면 어떤 조건에서 가능한가?
• RQ4 어떤 레이블이 부여된 그래프의 C*-대수들은 어떤 그래프 대수와도 모리타 동치가 아니게 존재하는가?
• RQ5 레이블이 부여된 그래프의 C*-대수가 그 기저가 되는 그래프의 C*-대수와 동형이 되는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 레이블이 부여된 그래프의 C*-대수 C*(E, π, C) 는 약한 왼쪽 해소 표현에 대해 유일적이며, 초우르트그래프 대수와 시프트 공간 C*-대수를 모두 일반화한다.
• 행렬 유한, 레이블 유한, 왼쪽 해소 조건을 만족하는 레이블이 부여된 그래프에서 모든 v ∈ E⁰ 에 대해 {v} ∈ C 이면, C*(E, π, C) ≅ C*(E) 이다.
• 초우르트그래프 G 가 행렬 유한일 경우, C*(G) 는 기저가 되는 방향 그래프 E_G 의 C*-대수와 동형이며, C*(E_G) ≅ C*(E_G, π_G, E_G⁰) 이다.
• 비가역적 소피프 시프트 Λ 의 왼쪽 크리거 커버 (E_Λ, π_Λ) 가 존재할 경우, Matsumoto 대수 O_Λ 는 C*(E_Λ, π_Λ, E_Λ⁰) 와 동형이다.
• 비가역적 소피프 시프트에 대해 최소 왼쪽 해소 표현 (E, π) 을 사용하면 단순 C*-대수 C*(E, π, E⁰_−) ≅ C*(E, π, E⁰) 를 얻을 수 있으며, 이는 비최소 표현에서의 비단순성 문제를 해결한다.
• 어떤 그래프 대수와도 모리타 동치가 아닌 레이블이 부여된 그래프의 C*-대수가 존재하며, 이는 레이블이 부여된 그래프의 C*-대수가 그래프 대수보다 엄밀히 더 큰 클래스를 이룬다는 것을 보여준다.