[논문 리뷰] Calculating maps between n-categories

Carlos Simpson|arXiv (Cornell University)|2000. 09. 11.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 4인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 Tamsamani의 $n$-precats 모델 구조에서 자유 코프ibrant 해상($F^\cdot$)을 사용하여 $n$-범주 간 사상의 호모토피 유형을 계산하는 구체적이고 명시적인 방법을 제시한다. 소스 $n$-범주를 자유 코프ibrant 해상 $F^\cdot$로 대체함으로써, $Ho(n\text{-}Cat)$ 내의 호모토피 유형 집합 $[A,B]$는 $F^1 \to B$ 및 $F^0 \to B$ 사이의 공등화자(coequalizer)로 계산되며, 호모토피 동치는 $F^1$으로의 연장에 의해 정의된다. 주요 기여는 $n$-범주 호모토피 이론에서 유도된 사상 공간을 실용적이고 구체적으로 계산할 수 있도록 한 것이다.

ABSTRACT

We give an explicit way of calculating the set of homotopy classes of morphisms from a Tamsamani n-category A to another one B. This calculation uses a Reedy-cofibrant cosimplicial resolution of A, using a new notion of ``free cofibration'' of n-precats. The free cofibrations of n-precats seem to be the analogue for n-categories of the Bousfield-Kan cofibrations in the theory of diagrams.

연구 동기 및 목표

• Dwyer-Kan 국소화에서의 추상적인 프라스티프 레이저링을 피하면서도, $n$-범주 간 사상의 호모토피 유형을 실용적이고 명시적으로 계산할 수 있는 방법을 제공하는 것.
• 고차 범주론에서 $n$-범주 사상 공간에 대한 실용적인 계산 도구의 부족을 해결하는 것.
• 추상적인 닫힌 모델 구조의 대안으로 자유 코프ibrant 해상을 사용하여 계산 가능한 대체 방법을 확립하는 것.
• 호모토피 범주 $Ho(n\text{-}Cat)$가 자유 코프ibrant 해상에 대한 공등화자 구성으로 계산될 수 있음을 보여주는 것.

제안 방법

• 모든 $n$-precats 범주에서 자유 코프ibrant 해상 $F^\cdot \to A$를 구성하되, $F^0$은 자유 코프ibrant이고 $F^0 \sqcup F^0 \to F^1$는 자유 코프ibrant이도록 한다.
• $nPC$ 위의 Reedy 모델 구조를 사용하여 $F^\cdot$가 Reedy-코프ibrant임을 보장함으로써, 유도된 사상 공간 계산이 가능하도록 한다.
• Dwyer-Kan 국소화 $L(n\text{-}Cat)$를 적용하고, 등가성 $\pi_0 \text{Hom}_{L(n\text{-}Cat)}(A,B) \cong \text{Hom}_{Ho(n\text{-}Cat)}(A,B)$를 이용한다.
• 자유 코프ibrant의 끼워넣기 성질을 사용하여, $F^0 \to B$의 사상 간 호모토피 동치를 $F^1 \to B$로의 연장 가능성으로 정의한다.
• 두 사상 $F^0 \to B$가 호모토피일 조건은 그 분리합집합이 $F^1 \to B$로 연장될 수 있음을 보이며, $F^2$를 사용한 체인-합성 추론을 통해 이를 증명한다.
• 모든 $nPC$의 프라스티프 레이저링이 자유 코프ibrant에 대해 끼워넣기를 허용하므로, 이 구성이 올바른 호모토피 유형을 계산함을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 하면 $n$-범주 간 사상의 호모토피 유형 집합을 구체적이고 알고리즘적인 방식으로 계산할 수 있는가?
• RQ2 free cofibrant 해상이 $Ho(n\text{-}Cat)$ 내에서 유도된 사상 공간을 계산하기 위해 프라스티프 레이저링을 대체로 사용할 수 있는가?
• RQ3 두 사상 $F^0 \to B$가 $Ho(n\text{-}Cat)$에서 호모토피일 조건은 정확히 무엇인가?
• RQ4 사상 $F^0 \to B$ 간의 호모토피 관계는 단일한 $F^1 \to B$로의 연장 가능성과 동치인가?
• RQ5 공등화자 $F^1 \rightrightarrows F^0$는 $\text{Hom}_{Ho(n\text{-}Cat)}(A,B)$를 계산하는 데 사용될 수 있는가?

주요 결과

• 호모토피 범주 $Ho(n\text{-}Cat)$ 내에서 $A$에서 $B$로의 사상의 호모토피 유형 집합은 $F^\cdot \to A$가 자유 코프ibrant 해상일 때 $\pi_0 \text{Hom}_{n\text{-}Cat}(F^\cdot, B)$와 동형이다.
• 사상 $A \to B$의 호모토피 유형은 다이어그램 $F^0 \rightrightarrows F^1 \to A$에서 두 면 사상 $F^1 \rightrightarrows F^0$의 공등화자로 계산되며, $F^0$은 자유 코프ibrant이다.
• 두 사상 $F^0 \to B$가 호모토피일 조건은 그 분리합집합이 $F^1 \to B$로 연장될 수 있음을 보여주며, 이는 호모토피에 대한 한 단계 기준을 제공한다.
• 이 구성은 프라스티프 레이저링을 피함으로써 표준 모델 구조 접근 방식보다 더 명시적이고 계산 가능한 대안을 제공한다.
• 자유 코프ibrant 사상은 프라스티프 레이저링에 대해 호모토피 상에서의 끼워넣기 성질을 만족하므로, 이 방법이 정확함을 보장한다.
• 결과는 동치에 대해 안정적이다: $F^0 \to A$와 $F^1 \to A$가 $n$-범주 간 동치이면, 이 구성은 올바른 $Ho(n\text{-}Cat)$-사상 집합을 계산한다.