[논문 리뷰] Calculation of quantum discord for qubit-qudit or N qubits

Sai Vinjanampathy, A. Rau|arXiv (Cornell University)|2011. 06. 22.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 1인용 수 52

한 줄 요약

이 논문은 양자 오차를 계산하기 위한 해석적 공식을 양자-큐비트 및 N-큐비트 시스템에 대해 제안하며, 최적화를 최대 두 개의 매개변수로 줄여 효율적인 계산을 가능하게 한다. 엔트로픽 및 기하 측도의 오차를 유도하며, 후자는 임의의 d차원 시스템으로 일반화되어 물리적으로 관련성이 높은 상태의 폐쇄형 해를 제공한다.

ABSTRACT

Quantum discord, a kind of quantum correlation, is defined as the difference between quantum mutual information and classical correlation in a bipartite system. It has been discussed so far for small systems with only a few independent parameters. We extend here to a much broader class of states when the second party is of arbitrary dimension d, so long as the first, measured, party is a qubit. We present two formulae to calculate quantum discord, the first relating to the original entropic definition and the second to a recently proposed geometric distance measure which leads to an analytical formulation. The tracing over the qubit in the entropic calculation is reduced to a very simple prescription. And, when the d-dimensional system is a so-called X state, the density matrix having non-zero elements only along the diagonal and anti-diagonal so as to appear visually like the letter X, the entropic calculation can be carried out analytically. Such states of the full bipartite qubit-qudit system may be named "extended X states", whose density matrix is built of four block matrices, each visually appearing as an X. The optimization involved in the entropic calculation is generally over two parameters, reducing to one for many cases, and avoided altogether for an overwhelmingly large set of density matrices as our numerical investigations demonstrate. Our results also apply to states of a N-qubit system, where "extended X states" consist of (2^(N+2) - 1) states, larger in number than the (2^(N+1) - 1) of X states of N qubits. While these are still smaller than the total number (2^(2N) - 1) of states of N qubits, the number of parameters involved is nevertheless large. In the case of N = 2, they encompass the entire 15-dimensional parameter space, that is, the extended X states for N = 2 represent the full qubit-qubit system.

연구 동기 및 목표

• 표준 두 큐비트 사례를 초월하여 큐비트-큐디트 시스템에서 양자 오차를 계산하기 위한 해석적 방법을 개발하는 것.
• 더 높은 차원 시스템(큐비트-큐디트 및 N-큐비트)으로 X-상태 개념을 확장하여 블록 대각 X-구조를 가진 '확장된 X-상태'를 정의하는 것.
• 최적화를 최대 두 매개변수로 제한하여 오차 계산의 계산 복잡도를 낮추는 것, 많은 경우 대수적 평가로 최적화를 피할 수 있다.
• 이전에 두 큐비트에 대해서만 알려진 기하 측도의 양자 오차를 (2⊗d) 차원 시스템으로 일반화하여 보편적인 폐쇄형 표현식을 제공하는 것.
• N=2일 때, 확장된 X-상태가 큐비트-큐비트 시스템의 전체 15차원 매개변수 공간을 차지하므로, 이 경우에 대해 프레임워크가 종합적임을 보여주는 것.

제안 방법

• 큐비트-큐디트 시스템의 밀도 행렬이 네 개의 d×d 블록 행렬로 구성되며, 각 블록은 대각선과 반대각선에만 비영인 원소를 가지는 X-구조를 가진 '확장된 X-상태'를 도입한다.
• 상호정보량을 계산하고 고전적 상관을 빼는 엔트로픽 정의를 적용하며, 큐비트에 대한 추적을 블록 행렬 고유값 분석을 통해 단순화한다.
• 큐비트에 대한 뉴먼 측정 최적화를 최대 두 매개변수(θ, φ)로 줄이며, 많은 경우 최적화 없이 직접 평가가 가능하다.
• 상태와 가장 가까운 고전적 상태 사이의 힐베르트-스미트 거리에 기반한 기하 측도를 유도하며, 측정 기저에 대해 최소화한다.
• 행렬 분해를 사용하여 기하 오차를 블로흐 벡터와 상관 텐서의 함수로 표현하며, 2×2 행렬의 최대 고유값을 포함하는 폐쇄형 공식을 도출한다.
• 두 큐비트에 대해 유도된 기하 오차 공식이 (2⊗d) 시스템으로 일반화됨을 보이며, 동일한 최소화 구조가 보편적으로 유지됨을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 표준 두 큐비트 사례를 초월하여 임의의 d에 대해 큐비트-큐디트 시스템에서 양자 오차를 해석적으로 계산할 수 있는가?
• RQ2 더 높은 차원 시스템에서 X-상태 구조가 오차 계산, 특히 최적화 단계에서 단순화를 가능하게 하는가?
• RQ3 이전에 두 큐비트에 대해서만 알려진 기하 측도의 양자 오차가 (2⊗d) 시스템으로 일반화되어 보편적인 폐쇄형 표현식을 갖는가?
• RQ4 N-큐비트 시스템에서의 확장된 X-상태가 양자 상관관계의 전체 매개변수 공간을 얼마나 잘 포괄하는가, 특히 N=2일 때는 어떠한가?
• RQ5 물리적으로 관련성이 높은 많은 상태에 대해 엔트로픽 오차 계산의 최적화를 완전히 줄이거나 피할 수 있는가?

주요 결과

• 확장된 X-상태에 대한 엔트로픽 오차 계산은 최대 두 매개변수(θ, φ)에 대한 최적화로 줄어들며, 대칭성으로 인해 한 매개변수가 종종 제거된다.
• 확장된 X-상태의 광범위한 클래스에서 최적화 단계를 완전히 피할 수 있으며, 임계점에서의 대수적 평가로 직접 해석적 계산이 가능하다.
• 기하 측도의 양자 오차는 두 큐비트에서 (2⊗d) 시스템으로 일반화되며, 공식 $ D^{(2)}_A( ho) = \frac{1}{2d}(\norm{x}^2 + \norm{T}^2 - k_{\text{max}}) $ 가 보편적으로 성립한다.
• 두 큐비트 X-상태의 경우, 기하 오차 공식은 $ D^{(2)}_A\left(\rho\right) = \frac{1}{4} \text{min}\left(|a|^2, \frac{1}{2}|a|^2 + \rho_0 - \frac{1}{2}\rho_+ \right) $ 로 줄어들며, 국소 유니터리 변환까지 고려해 모든 일곱 개의 독립 매개변수를 포함한다.
• N=2 큐비트의 경우, 확장된 X-상태는 두 큐비트 밀도 행렬의 전체 15차원 공간을 차지하므로, 이 경우에 대해 프레임워크가 완전하다.
• N 큐비트의 경우 확장된 X-상태의 매개변수 수는 $ 2^{N+2} - 1 $이며, 표준 X-상태의 $ 2^{N+1} - 1 $ 보다 크지만, 전체 $ 2^{2N} - 1 $ 매개변수 공간에 비해 여전히 크게 작다.