[논문 리뷰] Can everything be computed? - On the Solvability Complexity Index and Towers of Algorithms.

Jonathan Ben‐Artzi, Anders C. Hansen외 2명|arXiv (Cornell University)|2015. 08. 13.

graph theory and CDMA systems참고 문헌 78인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 기본 수학 문제를 계산하는 데 필요한 극한의 수를 분류하기 위해 가역성 복잡도 지수(Solavability Complexity Index, SCI)를 도입하며, 이는 무한 행렬의 스펙트럼을 계산하는 것과 같은 일부 문제들이 최대 세 개의 극한을 필요로 함을 드러내며, 계산 수학 분야에 새로운 이론적 장벽을 설정하고 고전적 계산 가능성 이론을 확장한다.

ABSTRACT

ABSTRACT. This paper addresses and establishes some of the fundamental barriers in the theory of computation and finally settles the long standing computational spectral problem. Due to the barriers presented in this paper, there are many problems, some of them at the heart of computa-tional theory, that do not fit into the classical frameworks of theory of computation. Hence, we are in need for a new extended theory capable of handling these new issues. Many computational problems can be solved as follows: a sequence of approximations is created by an algorithm, and the solution to the problem is the limit of this sequence (think about computing eigenvalues of a matrix for example). However, as we demonstrate, for several basic problems in computations (computing spectra of infinite dimensional operators, solutions to linear equations or roots of polynomials using rational maps) such a procedure based on one limit is impossible. Yet, one can compute solutions to these problems, but only by using several limits. This may come as a surprise, however, this touches onto the definite boundaries of computational mathematics. To analyze this phenomenon we use the Solvability Complexity Index (SCI). The SCI is the smallest number of limits needed in order to com-pute a desired quantity. In several cases (spectral problems, inverse problems) we provide sharp results on the SCI, thus we establish the barriers for what can be achieved computationally. For example, we show that the SCI of spectra and essential spectra of infinite matrices is equal to three, and that the SCI of spectra of self-adjoint

연구 동기 및 목표

• 고전적 한 극한 알고리즘으로는 해결할 수 없는 특정 문제들에 대한 근본적인 계산 장벽을 식별하고 공식화하는 것.
• 가역성 복잡도 지수(SCI)를 기반으로 한 새로운 이론적 프레임워크를 개발하여 수학 문제의 해를 계산하는 데 필요한 극한의 수를 분류하는 것.
• 무한 행렬과 자기수반 연산자와 같은 핵심 문제에 대한 정확한 SCI를 결정하여 계산 스펙트럼 이론 분야의 오랫동안 남아있던 문제를 해결하는 것.
• 계산 수학의 많은 기본 문제들이 단일 극한으로는 해결될 수 없음을 입증하며, 다중 극한을 포함하는 알고리즘의 계층이 필요함을 보이는 것.

제안 방법

• 주어진 수학적 양을 계산하는 데 필요한 극한의 최소 수인 가역성 복잡도 지수(SCI)를 도입한다.
• 자기수반 및 일반 무한 행렬을 포함한 무한 차원 연산자의 스펙트럼의 계산 가능성에 SCI 프레임워크를 적용한다.
• 논리적 및 분석 기법을 사용하여 무한 행렬의 스펙트럼에 대한 SCI가 정확히 3임을 증명하며 날카로운 상한을 확립한다.
• 무한 행렬의 본질적 스펙트럼에 대한 SCI도 3임을 입증하여 동일한 복잡성 장벽을 보여준다.
• 유리 함수를 통한 선형 방정식의 해와 다항식의 근의 계산 가능성에 대해 분석하며, 이들 역시 다중 극한을 필요로 함을 보인다.
• 해가 존재하더라도 단일 근사 수열로는 도달할 수 없으며, 다중 극한 과정을 포함하는 알고리즘의 탑재가 필요함을 규명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 무한 행렬의 스펙트럼을 계산하는 데 필요한 극한의 최소 수는 얼마이며, 이 수치는 정확히 결정될 수 있는가?
• RQ2 고전적 한 극한 알고리즘은 계산 스펙트럼 이론의 모든 근본 문제를 해결할 수 있는가, 아니면 내재된 장벽이 존재하는가?
• RQ3 무한 행렬의 본질적 스펙트럼에 대한 가역성 복잡도 지수(SCI)는 얼마이며, 표준 스펙트럼과 비교해 볼 때 어떻게 다른가?
• RQ4 유리 함수를 통한 다항식의 근 계산이나 무한 차원 선형 연립방정식의 해를 구하는 문제들이 다중 극한 과정을 얼마나 많이 필요로 하는가?
• RQ5 SCI 프레임워크는 역문제 및 수학 물리학의 핵심 문제들에 대한 계산 복잡도를 분류하는 데 사용될 수 있는가?

주요 결과

• 무한 행렬의 스펙트럼에 대한 가역성 복잡도 지수(SCI)는 정확히 3이며, 이는 스펙트럼을 계산하는 데 세 개의 극한이 반드시 필요하고 충분함을 의미한다.
• 무한 행렬의 본질적 스펙트럼에 대한 SCI 역시 3이며, 이는 유사한 근본적인 계산 장벽을 나타낸다.
• 자기수반 무한 행렬의 스펙트럼에 대한 SCI 역시 3이며, 필요한 극한 수에 대한 날카로운 상한을 확립한다.
• 스펙트럼을 계산하는 것과 같은 근본적인 계산 문제들이 단일 극한으로는 해결될 수 없으며, 고전적 알고리즘 가정을 무효화함을 보여준다.
• 이 논문은 특정 무한 차원 연산자의 스펙트럼을 계산하는 데 단일 극한 기반 알고리즘이 존재하지 않음을 증명하며, 다중 극한 과정을 포함하는 알고리즘의 계층이 필요함을 입증한다.
• 결과적으로 고전적 계산 이론은 분석 및 수학 물리학 분야의 많은 핵심 문제에 대해 부족함을 드러내며, 다층 알고리즘 기반의 확장된 이론이 필요함을 규명한다.