[논문 리뷰] Can non-local correlations be discriminated in polynomial time?

A. Montina, Stefan Wolf|arXiv (Cornell University)|2016. 09. 20.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 벨 부등식의 최적 경계를 결정하는 오라클에 접근할 수 있다고 가정할 때, 주어진 비신호 상관관계로부터 국소 다각형체까지의 유클리드 거리를 다항시간 알고리즘으로 계산하는 방법을 제시한다. 수치 실험에서 이 알고리즘은 측정값에 대해 제6차 다항식 스케일링을 보이며, 피토프스키의 NP-완전성 결과로 인해 비국소성 식별이 계산적으로 비가능하다는 널리 퍼진 믿음을 도전한다.

ABSTRACT

In view of the importance of quantum non-locality in cryptography, quantum computation and communication complexity, it is crucial to decide whether a given correlation exhibits non-locality or not. In the light of a theorem by Pitowski, it is generally believed that this problem is computationally intractable. In this paper, we first prove that the Euclidean distance of given correlations from the local polytope can be computed in polynomial time with arbitrary fixed error, granted the access to a certain oracle. Namely, given a fixed error, we derive two upper bounds on the running time. The first bound is linear in the number of measurements. The second bound scales as the number of measurements to the sixth power. The former is dominant only for a very high number of measurements and is never saturated in the performed numerical tests. We then introduce a simple algorithm for simulating the oracle. In all the considered numerical tests, the simulation of the oracle contributes with a multiplicative factor to the overall running time and, thus, does not affect the sixth-power law of the oracle-assisted algorithm.

연구 동기 및 목표

• 비국소 상관관계가 다항시간 내에 식별될 수 있는지 조사하여, 이 문제의 계산적 비가용성에 대한 일반적인 견해에 도전한다.
• 비국소성 탐지에서 핵심 단계인 주어진 상관관계에서 국소 다각형체까지의 거리를 효율적으로 계산하는 알고리즘을 개발한다.
• 알고리즘에 필요한 오라클을 확률적 방법으로 시뮬레이션하여 실질적으로 다항시간 스케일링을 유지한다.
• 다양한 양자 상태와 측정 설정에서 알고리즘의 성능과 확장성에 대해 테스트한다.

제안 방법

• 비국소성 문제를 국소 다각형체로부터의 유클리드 거리 최소화 문제로 재구성하고, 볼록 최적화 기법을 활용한다.
• 벨 부등식의 최적 국소 경계를 계산하는 오라클을 가정하여, 고정 오차 범위 내에서 다항시간으로 거리 계산이 가능하다.
• 실행 시간에 대한 두 가지 이론적 상한을 유도한다: 측정 수에 대해 선형이며, 제6차 다항식 스케일링이며, 후자가 실질적으로 지배한다.
• 확률적 오라클 시뮬레이션을 도입하여, 랜덤 입력의 부분집합에서 정답을 얻고, 반복 시도를 통해 성공 확률을 보장한다.
• 오라클 시뮬레이션을 주 알고리즘에 통합하고, 그 실행 시간 기여도가 곱셈 인자로 유지됨을 보여주어 전체적으로 제6차 다항식 스케일링이 유지됨을 입증한다.
• 최대 및 비최대 얽힘 상태와 평면형 및 무작위 측정을 사용하여 고정밀도 거리 평가를 수행한 수치 실험을 실시한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 벨 부등식 경계를 위한 오라클에 접근할 수 있다고 가정할 때, 비신호 상관관계에서 국소 다각형체까지의 거리를 다항시간 내에 계산할 수 있는가?
• RQ2 피토프스키의 NP-완전성 결과에도 불구하고, 제안된 알고리즘이 실질적으로 다항시간 스케일링을 유지하는가?
• RQ3 오라클 시뮬레이션의 성능은 전체 실행 시간에 어떤 영향을 미치며, 이를 곱셈 인자로 유지할 수 있는가?
• RQ4 수치 실험에서 관측된 제6차 스케일링 법칙은 이론적 상한과 일치하는가?
• RQ5 다양한 양자 상태와 측정 구성에서 알고리즘이 높은 정확도로 거리를 성공적으로 계산할 수 있는가?

주요 결과

• 오라클에 접근할 수 있다고 가정할 경우, 알고리즘은 고정 정확도로 국소 다각형체에서 상관관계까지의 거리를 다항시간 내에 계산한다.
• 이론적 실행 시간 상한은 측정 수의 제6차 다항식 스케일링을 보이며, 모든 수치 실험에서 선형 상한을 초월하여 지배한다.
• 오라클 시뮬레이션은 전체 실행 시간에 곱셈 인자로 기여하며, 오라클 지원 사례에서 관측된 제6차 다항식 스케일링을 유지한다.
• 모든 시험 케이스—최대 얽힘 상태, 비최대 얽힘 상태, 무작위 측정—에서 알고리즘은 목표 정확도로 성공적으로 수렴하였다.
• 수치 실험에서 관측된 실행 시간의 스케일링은 제6차 다항식 법칙과 호환되며, 최대 28개의 측정까지도 성립한다.
• 측정 수가 28 이하일 경우 브루트포스 검증을 통해 알고리즘이 지정된 정확도 내에서 일관되게 정확한 해를 찾는 것으로 확인되었다.