[논문 리뷰] Can you take Toernquist's inaccessible away?

Haim Horowitz, Saharon Shelah|arXiv (Cornell University)|2016. 05. 09.

Advanced Topology and Set Theory참고 문헌 2인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 ZF+DC에서 무한히 큰 가족이 존재하지 않는 모델의 존재성이 ZFC와 등치일관임을 증명하며, 이전에 To"{e}rnquist의 결과에서 요구되었던 마흐로 카디널 가정을 제거한다. ccc 성질과 융합 기법을 갖춘 포스팅 구조를 사용하여, ZFC 일관성 하에 ZF+DC+"무한히 큰 가족이 존재하지 않는다"를 만족하는 모델에서 무한히 큰 가족의 부재를 달성함을 보인다.

ABSTRACT

We prove that ZF+DC+"There are no mad families" is equiconsistent with ZFC.

연구 동기 및 목표

• To"{e}rnquist의 결과에서 무한히 큰 가족이 존재하지 않는 레비 모델에서 대량의 카디널 가정(마흐로 카디널)을 제거하는 것.
• ZF+DC+"무한히 큰 가족이 존재하지 않는다"와 ZFC 사이의 등치일관성을 확립하여, 무한히 큰 가족이 존재하지 않는 것의 일관성 강도가 ZFC를 초과하지 않음을 보여주는 것.
• ccc 포스팅 순서와 융합을 사용한 포스팅 이론적 프레임워크를 제공하여, 무한히 큰 가족이 존재하지 않는 모델를 구성하는 것.
• ZF+DC 모델에서 최대의 점차적 다른 가족과 최대의 유한성군에 대한 열린 문제를 해결하기 위한 기초를 마련하는 것.
• 무한히 큰 가족이 분석적일 수 있거나 레비 모델 같은 모델에서 존재할 수 있는지 조사하여,술적 집합론적 독립 결과의 범위를 확장하는 것.

제안 방법

• MA_{\aleph_1}을 강제하는 ccc 포스팅 노선의 클래스 $K$를 구성하고, 완전 통합 기반의 부분 순서 $\leq_K$를 갖추는 것.
• $K$의 융합 성질을 이용하여 $\leq_K$-증가 연속 수열을 구축함으로써, 극한에 대한 닫힘을 보장하는 것.
• $\leq_K$-증가 수열을 사용한 재귀적 포스팅 확장을 적용하여, 모든 가산 집합이 크기가 $\leq \sigma$인 단일 확장에 포함되도록 보장하는 것.
• 융합 스타일의 추론을 사용하여 일반 필터가 ccc와 $MA_{\aleph_1}$을 유지하도록 보장함으로써, 무한히 큰 가족이 존재하지 않는 모델를 구성하는 것.
• $MA_{\aleph_1}$이 모든 ccc 포스팅이 케이너스 성질을 갖는다는 사실을 활용하여, 곱과 융합에서 ccc 성질이 유지됨을 보장하는 것.
• 최종 모델에서 분석적 또는 정의 가능한 무한히 큰 가족이 존재하지 않음을 검증함에 있어, 일반성과 $MA_{\aleph_1}$ 기반 일반 확장에 의존하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 ZF+DC에서 무한히 큰 가족이 존재하지 않는 모델의 존재성이 마흐로 카디널을 가정하지 않고 ZFC와 등치일관인가?
• RQ2 ZFC 일관성 가정만으로 ZF+DC 모델에서 무한히 큰 가족의 부재를 달성할 수 있는가?
• RQ3 ZF+DC 모델 중에서 최대의 점차적 다른 가족이나 최대의 유한성군이 존재하지 않는 것이 가능한가?
• RQ4 최대의 점차적 다른 가족이나 최대의 유한성군이 ZFC 하에서 분석적일 수 있는가?
• RQ5 ZF+DC 모델에서 무한히 큰 가족의 부재의 일관성 강도는 무엇이며, 이를 ZFC로 줄일 수 있는가?

주요 결과

• ZF+DC+"무한히 큰 가족이 존재하지 않는다"는 이론은 마흐로 카디널이 필요 없이 ZFC와 등치일관이다.
• 이 구축은 MA_{\aleph_1}을 강제하는 ccc 포스팅 노선의 클래스 $K$를 사용하며, 융합과 $\leq_K$-증가 수열에 대해 닫혀 있다.
• 크기가 $\mu$ 미만인 임의의 집합 $X$에 대해, $X \subseteq \mathbb{Q}$이고 $|\mathbb{Q}| < \mu$를 만족하는 $\mathbb{Q} \in K$가 존재하여, 작은 집합에 대해 닫힘을 보장한다.
• 포스팅 구축은 $MA_{\aleph_1}$과 ccc 성질의 유지 덕분에 일반 확장에서 무한히 큰 가족이 존재하지 않음을 보장한다.
• 이 방법은 모든 실수 집합이 르베그 가측성과 베르 성질을 갖는 모델를 구성할 수 있게 하며, ZF+DC와 일관된다.
• 결과적으로 무한히 큰 가족의 부재는 ZFC와 일관되며, 따라서 ZFC를 초월한 일관성 강도가 필요하지 않다.