[논문 리뷰] Canonical Nonlinear Connections in the Multi-Time Hamilton Geometry

Gheorghe Atanasiu, Mircea Neagu|arXiv (Cornell University)|2008. 07. 06.

Advanced Differential Geometry Research참고 문헌 8인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 다중시간 해밀턴 함수의 크로네커 $h$-정칙성과 관련된 이중 1-점근 다발 $J^{1\bullet}(\tau,M)$ 상에 표준 비선형 접속을 도입하여 고전적 해밀턴 기하학을 다중시간 장 이론으로 확장한다. 이 구성은 d-텐서, 다중시간 다중모멘타의 반사상, 그리고 다중모멘타 위상 기하학과의 호환성을 보장하는 변환 법칙을 사용하며, 다중시간 공변 해밀턴 기하학의 기초를 마련한다.

ABSTRACT

In this paper we study some geometrical objects (d-tensors, multi-time semisprays of polymomenta and nonlinear connections) on the dual 1-jet vector bundle $J^{1*}(\cal{T}, M) o \cal{T} imes M$. Some geometrical formulas, which connect the last two geometrical objects, are also derived. Finally, a canonical nonlinear connection produced by a Kronecker $h$-regular multi-time Hamiltonian is given.

연구 동기 및 목표

• 다중시간 공변 해밀턴 장 이론을 위한 기하적 프레임워크를 이중 1-점근 다발 $J^{1\bullet}(\tau,M)$ 를 이용해 개발한다.
• 이중 1-점근 공간 상의 d-텐서, 다중시간 다중모멘타의 반사상, 비선형 접속을 정의하고 특성화한다.
• 크로네커 $h$-정칙 다중시간 해밀턴 함수로부터 유도된 표준 비선형 접속을 수립한다.
• 고전적 해밀턴 기하학을 코 tangent 다발에서 다중 매개변수 및 다중모멘타 설정으로 일반화한다.
• d- torsion 과 d- curvature 를 포함한 완전한 다중시간 d-접속 이론의 기초를 다진다.

제안 방법

• 연구는 국소 좌표 $(t^a, x^i, p_i^a)$ 를 지닌 이중 1-점근 벡터 다발 $J^{1\bullet}(\tau,M) \to \tau \times M$ 상에서 수행된다.
• 저자들은 기본 수직 메트릭 d-텐서 $G_{(a)(b)}^{(i)(j)} = h_{ab}(t^c)g^{ij}(t^c,x^k,p_k^c)$ 를 사용하여 d-텐서와 다중시간 다중모멘타의 반사상을 정의한다.
• 비선형 접속 $N = (\underset{1}{N}_{(i)b}^{(a)}, \underset{2}{N}_{(i)j}^{(a)})$ 는 해밀턴 함수 $H$ 와 그 이阶 도함수로부터 유도된 국소 함수를 통해 구성된다.
• 시간 성분 $\underset{1}{N}_{(i)b}^{(a)} = \varkappa_{cb}^{a}p_i^c$ 는 시간 메트릭 $h_{ab}$ 의 크리스토펠 기호에 의존한다.
• 공간 성분 $\underset{2}{N}_{(i)j}^{(a)}$ 는 일반화된 크리스토펠 기호 $\Gamma_{ij}^k$ 와 해밀턴 함수의 편미분으로부터 유도되며, $T_{(i)j}^{(a)}$ 는 텐서적 변환 행동을 보장한다.
• 국소 계산을 통해 표준 비선형 접속이 요구되는 변환 법칙을 만족함을 증명하였으며, 이는 $m=1$ 인 경우 고전적 해밀턴 기하학을 일반화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다중시간 해밀턴 시스템을 위한 이중 1-점근 다발 상에 표준 비선형 접속을 어떻게 정의할 수 있는가?
• RQ2 비선형 접속 성분이 d-텐서가 되도록 보장하는 변환 법칙은 무엇인가?
• RQ3 표준 비선형 접속은 다중시간의 경우($m=1$) 고전적 해밀턴 기하학으로 어떻게 축소되는가?
• RQ4 해밀턴 함수의 크로네커 $h$-정칙성이 비선형 접속의 존재성과 정칙성을 보장하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 d- torsion 과 d- curvature 를 포함한 d-접속 형식론은 어떻게 다중시간 공변 해밀턴 기하학으로 확장될 수 있는가?

주요 결과

• 크로네커 $h$-정칙 다중시간 해밀턴 함수 $H$ 로부터 명시적으로 표준 비선형 접속 $N = (\underset{1}{N}_{(i)b}^{(a)}, \underset{2}{N}_{(i)j}^{(a)})$ 가 구성된다.
• 시간 성분 $\underset{1}{N}_{(i)b}^{(a)} = \varkappa_{cb}^{a}p_i^c$ 는 $\varkappa_{bc}^a$ 의 변환 법칙을 통해 d-텐서로 올바르게 변환됨이 검증되었다.
• 공간 성분 $\underset{2}{N}_{(i)j}^{(a)}$ 는 $-\Gamma_{ij}^k p_k^a + T_{(i)j}^{(a)}$ 로 표현되며, $T_{(i)j}^{(a)}$ 는 해밀턴 함수와 메트릭으로부터 유도된 d-텐서이다.
• $m=1$ 인 경우, 공간 성분은 고전적 표준 비선형 접속으로 축소되어 기존 결과와의 일致성을 확인한다.
• 표현 $\underset{2}{N}_{(i)j}^{(a)} = -\Gamma_{ij}^k p_k^a + \frac{h^{ab}}{4}(U_{ib\bullet j} + U_{jb\bullet i})$ 는 $U_{ib} = g_{ik}U_{(b)}^{(k)}$ 와 공액 도함수를 이용한 닫힌 형태의 텐서 표현을 제공한다.
• 표준 비선형 접속이 $m \geq 2$ 에서 잘 정의되고 기하학적으로 일致함을 입증하였으며, 일반적인 경우에 d-접속을 정의하는 데 있어 장애를 극복하였다.