[논문 리뷰] Cardinalities of weakly Lindel\"of spaces with regular $G_\kappa$-diagonals

Ivan S. Gotchev|arXiv (Cornell University)|2015. 04. 08.

Advanced Topology and Set Theory참고 문헌 10인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 정규 $G_\kappa$-대각선을 가진 Urysohn 공간에 대한 새로운 기수 한계를 설정하며, 공간의 크기를 약한 Lindel"of 수, 거의 Lindel"of 수, 특성, 대각선 차수와 연결함으로써 고전적 부등식을 확장한다. 주요 기여는 이러한 공간에 대해 $|X| \leq \operatorname{wL}(X)^{\chi(X)}$ 및 $|X| \leq \operatorname{aL}(X)^{\Delta(X)}$ 를 증명한 것으로, 정규 및 Urysohn 공간에 대한 이전 기수 한계를 크게 향상시킨다.

ABSTRACT

For a Urysohn space $X$ we define the regular diagonal degree $\overline{\Delta}(X)$ of $X$ to be the minimal infinite cardinal $\kappa$ such that $X$ has a regular $G_\kappa$-diagonal i.e. there is a family $(U_\eta:\eta<\kappa)$ of open neighborhoods of $\Delta_X=\{(x,x)\in X^2:x\in X\}$ in $X^2$ such that $\Delta_X = \bigcap_{\eta<\kappa} \overline{U}_\eta$. In this paper we show that if $X$ is a Urysohn space then: (1) $|X|\leq 2^{c(X)\cdot\overline{\Delta}(X)}$; (2) $|X|\leq 2^{\overline{\Delta}(X)\cdot 2^{wL(X)}}$; (3) $|X|\le wL(X)^{\overline{\Delta}(X)\cdot\chi(X)}$; and (4) $|X|\le aL(X)^{\overline{\Delta}(X)}$; where $\chi(X)$, $c(X)$, $wL(X)$ and $aL(X)$ are respectively the character, the cellularity, the weak Lindel\"of number and the almost Lindel\"of number of $X$. The first inequality extends to the uncountable case Buzyakova's result that the cardinality of a ccc-space with a regular $G_\delta$-diagonal does not exceed $2^\omega$. It follows from (2) that every weakly Lindel\"of space with a regular $G_\delta$-diagonal has cardinality at most $2^{2^\omega}$. Inequality (3) implies that when $X$ is a space with a regular $G_\delta$-diagonal then $|X|\le wL(X)^{\chi(X)}$. This improves significantly Bell, Ginsburg and Woods inequality $|X|\le 2^{\chi(X)wL(X)}$ for the class of normal spaces with regular $G_\delta$-diagonals. In particular (3) shows that the cardinality of every first countable space with a regular $G_\delta$-diagonal does not exceed $wL(X)^\omega$. For the class of spaces with regular $G_\delta$-diagonals (4) improves Bella and Cammaroto inequality $|X|\le 2^{\chi(X)\cdot aL(X)}$, which is valid for all Urysohn spaces. Also, it follows from (4) that the cardinality of every space with a regular $G_\delta$-diagonal does not exceed $aL(X)^\omega$.

연구 동기 및 목표

• 기수 한계 $|X| \leq 2^{\omega}$ 를 코herent한 $G_\delta$-대각선을 가진 ccc 공간에 대해 일반화하여, $|X| \leq 2^{c(X) \cdot \Delta(X)}$ 로 확장함으로써 가산적이지 않은 분할성을 다룸.
• 정규 $G_\delta$-대각선을 가진 공간에 대해 $|X| \leq \operatorname{wL}(X)^{\chi(X)}$ 를 증명함으로써, 정규 공간에 대해 $|X| \leq 2^{\chi(X) \cdot \operatorname{wL}(X)}$ 를 제시한 Bell, Ginsburg, Woods의 부등식을 개선함.
• 정규 $G_\delta$-대각선 조건 하에서 Urysohn 공간에 대해 $|X| \leq \operatorname{aL}(X)^{\Delta(X)}$ 를 증명함으로써, Bella와 Cammaroto의 부등식 $|X| \leq 2^{\chi(X) \cdot \operatorname{aL}(X)}$ 를 강화함.
• 문헌에서의 격차를 메우기 위해, 정규 $G_\delta$-대각선 조건이 표준 $G_\delta$-대각선보다 훨씬 강력하다는 것을 보이며, 이는 기수 제약을 더 엄격하게 만든다.

제안 방법

• 대각선 $\Delta_X$ 가 $X^2$ 에서 $G_\kappa$-집합이 되는 최소 $\kappa$ 를 정규 대각선 차수 $\Delta(X)$ 로 정의함.
• 점들을 별개로 분리하기 위해, 포함관계를 갖는 열린 커버의 가군 $\{U_\eta : \eta < \kappa\}$ 을 구성함. 이때 $x \neq y$ 이면 $\bigcap_{\eta < \kappa} \operatorname{st}(U_\eta(x,y), U_\eta) \cap \{y\} = \emptyset$ 이 되도록 보장함.
• 약한 Lindel"of 수와 거의 Lindel"of 수를 사용하여 이러한 커버에서 선택된 집합들의 교차 수를 제한함.
• 각 점 $x$ 가 $\bigcap_{\eta < \kappa} D_{x,\eta}$ 로 복원될 수 있음을 보이며, 여기서 $D_{x,\eta}$ 는 크기가 $\leq \operatorname{wL}(X)$ 또는 $\operatorname{aL}(X)$ 인 부분군에서 선택됨.
• 이러한 가능한 교차 수를 세어 기수 한계를 유도함: $|X| \leq \operatorname{wL}(X)^{\chi(X)}$ 와 $|X| \leq \operatorname{aL}(X)^{\Delta(X)}$.
• 서로 다른 교차 수가 $\tau^\kappa$ 로 유계임을 증명함. 여기서 $\tau$ 는 약한 또는 거의 Lindel"of 수이며, $\kappa = \Delta(X)$.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정규 $G_\delta$-대각선을 가진 모든 Urysohn 공간에 대해 $|X| \leq \operatorname{wL}(X)^{\chi(X)}$ 가 성립하는가?
• RQ2 정규 $G_\delta$-대각선을 가진 공간에 대해 $|X| \leq 2^{\chi(X) \cdot \operatorname{wL}(X)}$ 를 $|X| \leq \operatorname{wL}(X)^{\chi(X)}$ 로 개선할 수 있는가?
• RQ3 정규 $G_\delta$-대각선 조건이 약한 Lindel"of 공간에 대해 $|X| \leq 2^{2^{\omega}}$ 를 보장하는 데 충분한가?
• RQ4 약한 Lindel"of 수 $\operatorname{aL}(X)$ 가 정규 $G_\delta$-대각선을 가진 Urysohn 공간의 기수를 $|X| \leq \operatorname{aL}(X)^{\Delta(X)}$ 로 제한하는가?
• RQ5 정규 $G_\delta$-대각선을 가진 첫 번째 가산 Urysohn 공간의 기수는 $\operatorname{wL}(X)^{\omega}$ 로 제한될 수 있는가?

주요 결과

• 모든 Urysohn 공간 $X$ 에 대해 $|X| \leq 2^{c(X) \cdot \Delta(X)}$ 를 만족함. 이는 Buzyakova의 결과를 가산적인 경우에서 비가산적인 경우로 일반화한 것이다.
• 모든 약한 Lindel"of 공간이 정규 $G_\delta$-대각선을 가진다면 $|X| \leq 2^{2^{\omega}}$ 를 만족함. 이는 정규 $G_\delta$-대각선 조건이 표준 $G_\delta$-대각선 조건보다 더 강력하다는 것을 보여준다.
• 모든 정규 $G_\delta$-대각선을 가진 Urysohn 공간에 대해 $|X| \leq \operatorname{wL}(X)^{\chi(X)}$ 를 만족함. 이는 정규 공간에 대해 $|X| \leq 2^{\chi(X) \cdot \operatorname{wL}(X)}$ 를 제시한 Bell, Ginsburg, Woods의 부등식을 개선한 것이다.
• 모든 첫 번째 가산 Urysohn 공간이 정규 $G_\delta$-대각선을 가진다면 기수는 최대 $\operatorname{wL}(X)^{\omega}$ 이며, 이는 이전의 지수적 기수 한계보다 크게 향상된 것이다.
• 모든 정규 $G_\delta$-대각선을 가진 Urysohn 공간에 대해 $|X| \leq \operatorname{aL}(X)^{\Delta(X)}$ 를 만족함. 이는 Bella와 Cammaroto의 부등식 $|X| \leq 2^{\chi(X) \cdot \operatorname{aL}(X)}$ 를 개선한 것이다.
• 모든 거의 Lindel"of Urysohn 공간이 정규 $G_\delta$-대각선을 가진다면 기수는 최대 $2^{\omega}$ 이며, 특히 $|X| \leq \operatorname{aL}(X)^{\omega}$ 를 만족한다.